משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
מ (בדיקה) |
||
| (3 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
{{ | {{המשך הגיע|תיאור=משפט 2|תאריך=20.2.11}} | ||
=האינטגרל לפי דרבו {{הערה|(המשך)}}= | =האינטגרל לפי דרבו {{הערה|(המשך)}}= | ||
==משפט 3== | ==משפט 3== | ||
תהי f | תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וכן <math>\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
הטענה הראשונה אומרת שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\lambda(P)<\delta</math> | הטענה הראשונה אומרת שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|\lambda(P)|=\lambda(P)<\delta</math> אזי <math>\left|\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\right|<\varepsilon</math>. ברור מהגדרת האינטגרל העליון כי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx</math>. כעת יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx<\frac\varepsilon2</math> ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\frac\varepsilon{2r\Omega}</math>, ונגדיר <math>R=P\cup Q</math>. כיוון ש-R עידון של Q, <math>\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\le\overline S(f,R)\le\overline S(f,Q)</math> ונובע ש-<math>0\le\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx<\frac\varepsilon2</math>. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספה של לכל היותר r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-<math>\overline S(f,P)-\overline S(f,R)\le r\lambda(P)\Omega<r\Omega\frac\varepsilon{2r\Omega}=\frac\varepsilon2</math>. לכן נוכל להסיק | ||
<math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx=\overline S(f,P)-\overline S(f,R)+\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. | <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\overline S(f,P)-\overline S(f,R)+\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. | ||
ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה. {{משל}} | ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה. {{משל}} | ||
==משפט 4== | ==משפט 4== | ||
תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. | תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx</math>. לכן, ממשפט 3, <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. ע"פ אריתמטיקה של גבולות <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> וכן <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. | תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א <math>\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx</math>. לכן, ממשפט 3, <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. ע"פ אריתמטיקה של גבולות <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> וכן <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. | ||
עכשיו נניח ש-<math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. | עכשיו נניח ש-<math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> ונוכיח את ההיפך. ממשפט 3 <math>0=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx-\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx</math> ולכן f אינטגרבילית. {{משל}} | ||
==משפט 5== | ==משפט 5== | ||
| שורה 24: | שורה 24: | ||
אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. לכן עבור <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל P המקיימת <math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>. | אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. לכן עבור <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל P המקיימת <math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>. | ||
לצד השני, נניח שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה P כך | לצד השני, נניח שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה P כך שמתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f\le\overline S(f,P)</math>. לפי הנתון נקבל <math>0\le\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f<\varepsilon</math>. זה נכון לכל <math>\varepsilon>0</math> ולכן <math>\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f=0</math>, כלומר f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}} | ||
==משפט 6== | ==משפט 6== | ||
תהי | תהי f רציפה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש-f רציפה בקטע סגור <math>[a,b]</math> היא רציפה במ"ש, לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>x_1,x_2\in[a,b]</math> ו-<math>|x_1-x_2|<\delta</math> אז <math>|f(x_1)-f(x_2)|<\frac\varepsilon{b-a}</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. לפיכך <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k</math> כאשר <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> ו-<math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. כיוון ש-f רציפה ושעפ"י המשפט השני של ויירשראס לכל f רציפה ב-<math>[a,b]</math> יש שם נקודות מינימום ומקסימום, לכל k קיימים <math>y_k,z_k\in[x_{k-1},x_k]</math> כך ש-<math>f(y_k)=M_k</math> ו-<math>f(z_k)=m_k</math>. כעת <math>|y_k-z_k|\le x_k-x_{k-1}=\Delta x_k\le\lambda(P)<\delta</math>, לכן <math>M_k-m_k=|f(y_k)-f(z_k)|<\frac\varepsilon{b-a}</math> ולבסוף | |||
{{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k\\&<\sum_{k=1}^n\frac\varepsilon{ | {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k\\&<\sum_{k=1}^n\frac\varepsilon{b-a}\Delta x_k\\&=\frac\varepsilon{b-a}(x_1-\underbrace{x_0}_{=a}+x_2-x_1+\dots+\underbrace{x_n}_{=b}-x_{n-1})\\&=\frac\varepsilon{b-a}(b-a)\\&=\varepsilon\end{align}</math>}} | ||
ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}} | ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}} | ||
| שורה 38: | שורה 38: | ||
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. | תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
נוכיח לפונקציה עולה. לכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(a)\le f(x)\le f(b)</math> ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה P כלשהי של <math>[a,b]</math> | נוכיח לפונקציה עולה. לכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(a)\le f(x)\le f(b)</math> ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה <math>P=\{x_0,\dots,x_n\}</math> כלשהי של <math>[a,b]</math> המקיימת לכל k, <math>\Delta x_k=\frac{b-a}n</math> (ובפרט הם שווים) אזי <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\Delta x_k</math>. | ||
מכאן נובע כי | |||
{{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}</math>}} | {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}</math>}} | ||
נשאיף <math>n\to\infty</math> ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)</math> קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}} | נשאיף <math>n\to\infty</math> ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)</math> קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}} | ||
גרסה אחרונה מ־20:29, 29 ביולי 2012
את משפט 2 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־22.2.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.
האינטגרל לפי דרבו (המשך)
משפט 3
תהי f מוגדרת וחסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \underline\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P) }[/math].
הוכחה
הטענה הראשונה אומרת שלכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ |\lambda(P)|=\lambda(P)\lt \delta }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \left|\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\right|\lt \varepsilon }[/math]. ברור מהגדרת האינטגרל העליון כי [math]\displaystyle{ 0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx }[/math]. כעת יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] נתון. לפי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ 0\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\lt \frac\varepsilon2 }[/math] ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \lambda(P)\lt \frac\varepsilon{2r\Omega} }[/math], ונגדיר [math]\displaystyle{ R=P\cup Q }[/math]. כיוון ש-R עידון של Q, [math]\displaystyle{ \overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\le\overline S(f,R)\le\overline S(f,Q) }[/math] ונובע ש-[math]\displaystyle{ 0\le\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\lt \frac\varepsilon2 }[/math]. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספה של לכל היותר r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-[math]\displaystyle{ \overline S(f,P)-\overline S(f,R)\le r\lambda(P)\Omega\lt r\Omega\frac\varepsilon{2r\Omega}=\frac\varepsilon2 }[/math]. לכן נוכל להסיק
[math]\displaystyle{ 0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\overline S(f,P)-\overline S(f,R)+\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\lt \frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon }[/math].
ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
משפט 4
תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0 }[/math] ואם כן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) }[/math].
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א [math]\displaystyle{ \overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx }[/math]. לכן, ממשפט 3, [math]\displaystyle{ \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) }[/math]. ע"פ אריתמטיקה של גבולות [math]\displaystyle{ \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) }[/math].
עכשיו נניח ש-[math]\displaystyle{ \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0 }[/math] ונוכיח את ההיפך. ממשפט 3 [math]\displaystyle{ 0=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx-\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx }[/math] ולכן f אינטגרבילית. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
משפט 5
תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אם"ם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיימת חלוקה P של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \overline S(f,P)-\underline S(f,P)\lt \varepsilon }[/math].
הוכחה
אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 [math]\displaystyle{ \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0 }[/math]. לכן עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שלכל P המקיימת [math]\displaystyle{ \lambda(P)\lt \delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \overline S(f,P)-\underline S(f,P)\lt \varepsilon }[/math].
לצד השני, נניח שלכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיימת חלוקה P כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \overline S(f,P)-\underline S(f,P)\lt \varepsilon }[/math]. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f\le\overline S(f,P) }[/math]. לפי הנתון נקבל [math]\displaystyle{ 0\le\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f\lt \varepsilon }[/math]. זה נכון לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f=0 }[/math], כלומר f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
משפט 6
תהי f רציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
הוכחה
יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]. כיוון ש-f רציפה בקטע סגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] היא רציפה במ"ש, לכן קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in[a,b] }[/math] ו-[math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta }[/math] אז [math]\displaystyle{ |f(x_1)-f(x_2)|\lt \frac\varepsilon{b-a} }[/math]. כעת תהי P חלוקה כלשהי של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \lambda(P)\lt \delta }[/math]. לפיכך [math]\displaystyle{ \overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\} }[/math]. כיוון ש-f רציפה ושעפ"י המשפט השני של ויירשראס לכל f רציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] יש שם נקודות מינימום ומקסימום, לכל k קיימים [math]\displaystyle{ y_k,z_k\in[x_{k-1},x_k] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f(y_k)=M_k }[/math] ו-[math]\displaystyle{ f(z_k)=m_k }[/math]. כעת [math]\displaystyle{ |y_k-z_k|\le x_k-x_{k-1}=\Delta x_k\le\lambda(P)\lt \delta }[/math], לכן [math]\displaystyle{ M_k-m_k=|f(y_k)-f(z_k)|\lt \frac\varepsilon{b-a} }[/math] ולבסוף
ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
משפט 7
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
הוכחה
נוכיח לפונקציה עולה. לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(a)\le f(x)\le f(b) }[/math] ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה [math]\displaystyle{ P=\{x_0,\dots,x_n\} }[/math] כלשהי של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] המקיימת לכל k, [math]\displaystyle{ \Delta x_k=\frac{b-a}n }[/math] (ובפרט הם שווים) אזי [math]\displaystyle{ \overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\Delta x_k }[/math].
מכאן נובע כי
נשאיף [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math] ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-[math]\displaystyle{ \overline S(f,P)-\underline S(f,P) }[/math] קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]