משתמש:איתמר שטיין: הבדלים בין גרסאות בדף
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 5: | שורה 5: | ||
ודרגת השורות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות <math>A</math>). | ודרגת השורות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות <math>A</math>). | ||
הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה: | הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה: | ||
| שורה 12: | שורה 14: | ||
כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>. | כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>. | ||
יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>. | יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>. | ||
נסמן ב <math>D</math> את המטריצה שעמודותיה הם איברי <math>B</math>. | נסמן ב <math>D</math> את המטריצה שעמודותיה הם איברי <math>B</math>. | ||
כלומר | כלומר | ||
<math>D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} </math> | |||
נשים לב שבגלל ש <math>B</math> בסיס ל <math>C(A)</math> הוא פורש כל עמודה של <math>A</math>. | נשים לב שבגלל ש <math>B</math> בסיס ל <math>C(A)</math> הוא פורש כל עמודה של <math>A</math>. | ||
כלומר לכל עמודה <math>C_i(A)</math> מתקיים ש <math>C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}</math>. | כלומר לכל עמודה <math>C_i(A)</math> מתקיים ש <math>C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}</math>. | ||
נסמן | |||
<math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{n,i}b_n</math> | |||
כלומר <math>C_i(</math> | |||
גרסה מ־12:38, 26 באוגוסט 2012
נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות [math]\displaystyle{ A }[/math]).
ודרגת השורות של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות [math]\displaystyle{ A }[/math]).
הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:
תהי [math]\displaystyle{ A \in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא [math]\displaystyle{ k }[/math].
כלומר [math]\displaystyle{ dim{C(A)}=k }[/math].
יהיה [math]\displaystyle{ B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m }[/math] בסיס עבור [math]\displaystyle{ C(A) }[/math].
נסמן ב [math]\displaystyle{ D }[/math] את המטריצה שעמודותיה הם איברי [math]\displaystyle{ B }[/math].
כלומר
[math]\displaystyle{ D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} }[/math]
נשים לב שבגלל ש [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ C(A) }[/math] הוא פורש כל עמודה של [math]\displaystyle{ A }[/math].
כלומר לכל עמודה [math]\displaystyle{ C_i(A) }[/math] מתקיים ש [math]\displaystyle{ C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\} }[/math].
נסמן
[math]\displaystyle{ C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{n,i}b_n }[/math]
כלומר [math]\displaystyle{ C_i( }[/math]