שינויים
\begin{definition}
תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי:
\begin{enumerate}
\item $-M$ חסם מלרע של $B$ $\Leftrightarrow$\\
$\forall b \in B : -M\leq b $ $\Leftrightarrow$\\$\forall a\in A : -M\leq -a $ $\Leftrightarrow$\\
$\forall a\in A : a\leq M $ $\Leftrightarrow$\\
$M$ חסם מלעיל של $A$
\begin{remark}
מאחת ההגדרות של $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $\Phi phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל קיים חסם עליון.
\end{remark}
\begin{thm}
אם $\Phi phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון.
\end{thm}
\begin{proof}
נוכיח עבור חסם עליון, ועבור חסם תחתון אפשר להוכיח באופן דומה.\\
\boxed{\Leftarrow}\\
נניח M חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-M חסם מלעיל. נותר להוכיח כי
$$\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon$$
נניח בשלילה כי קיים $\epsilon >0$ כל שלכל האיברים $a\in A$ מתקיים $a\leq M-\epsilon$.\\
לכן, לפי ההגדרה, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון $M$, בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.\\\boxed{\Rightarrow}נניח בשלילה ש- $M$ לא חסם עליון. לפי הנתון הוא חסם מלעיל ולכן מההנחה בשלילה מסיקים שיש חסם מלעיל קטן ממנו, נסמנו $m$. נסתכל על $\varepsilon=M-m $ , ונראה ש- $M-\varepsilon=m $ , שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה, ולכן אין איבר ב-$A$ שגדול מ-$M-\varepsilon$, בסתירה לנתון.
\end{proof}
