שינויים
$$\forall \varepsilon>0 \exists N \forall n>N : |a_n-0|<\varepsilon $$
אבל אם ניקח לדוגמה $\varepsilon=\frac{1}{2} $ נראה כי תמיד $|a_n-0|=1>\frac{1}{2}=\varepsilon $ ולכן הגדרת הגבול לא מתקיימת!\\
יותר מזה, לסדרה אין גבול, ואת זה תוכיחו בתרגיל הבית הקרובנשאיר כתרגיל.
\end{example}
\subsectionbegin{גבולות אינסופייםremark}[הגבול הוא יחיד]ראינו מה קורה לגבי סדרות ששואפות למספר, אבל לפעמים נוח להגיד שסדרה "שואפת לאינסוף", כמו במקרה של כלומר אם $ 1,2,3,4,\cdots a_n$ . מתי נגיד שזה מתקיים? אם הסדרה מצליחה בסופו של דבר לעקוף כל מספר, לא חשוב כמה הוא גדוליכולה להתכנס ל-2 גבולות שונים. במובנים מתמטיים, זה אומר שלכל במילים אחרות אם $ M a_n\to L_1 $ (מספר גדול) קיים מקום בסדרה ו- $ N a_n\to L_2 $ שכל האיברים אחריו (לכל אזי $ n>N L_1=L_2 $\\\begin{proof}תהי $a_n$ שמתכנסת ל- $ )L_1, הסדרה תהיה גדולה יותר מהמספר הגדול L_2 $ M ונניח בשלילה ש- $L_1\neq L_2 $ . בשפת כמתים:\\נניח בה"כ ש- $L_1<L_2 $ .\lim_{n\to אם נגדיר $\inftyvarepsilon = \frac{L_2-L_1} {2} $ נקבל מהנתון $a_n = \infty to L_1 $ שקיים $N_1 $ כך שלכל $n>N_1 $ מתקיים$$|a_n-L_1|<\Leftrightarrow varepsilon \forall M Rightarrow L_1-\exists Nvarepsilon < a_n < L_1 + \in varepsilon = L_1+\mathbbfrac{NL_2-L_1}{2}= \frac{L_1+L_2}{2} : a_n > M $$באותו אופןובאופן דומה, אפשר להגדיר שאיפה למינוס אינסוף:מהנתון ש- $a_n\to L_2 $ מסיקים שקיים $N_2 $ כך שלכל $n>N_2 $ מתקיים$$ |a_n-L_2|<\lim_{nvarepsilon \to Rightarrow \inftyfrac{L_1+L_2}{2} a_n = L_2-\infty varepsilon<a_n<L_2+\Leftrightarrow varepsilon $$אז נגדיר את $N=\forall M max \exists {N_1,N_2\} $ ויתקיים לכל $n>N$ $$a_n<L_1+\in varepsilon=\mathbbfrac{NL_1+L_2} : a_n {2}=L_2-\varepsilon< M a_n$$והגענו לסתירה.\end{proof}\end{remark}
