שינויים

אבחנה: <math>\{0\},V\subseteq V</math> תמיד תתי מרחבים ונקראים <math>תתי המרחבים הטריוואלים. ===דוגמאות ודוגמאות נגדיות === 1. המישור האוקלידי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>  א. <math> W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\}</math> (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי<math>-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W</math>  ב. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\textnormal{or }x,y\leq0\}</math> (הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי <math>\underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W</math>  ג. <math>W=\{(x,y)|\, y=3x\}</math> קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף הבא: 2. תהא <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>. פורמאלית <math>W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n </math>. טענה <math>W\leq \mathbb{F}^n</math> תת מרחב הוכחה: נשתמש בקריטריון המקוצר# ברור ש <math>W</math> לא ריקה כי <math>0\in W</math># לכל <math>v_1,v_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות כי <math>\alpha v_1 +v_2 \in W</math>. לפי הגדרה צריך להראות כי <math>A(\alpha v_1 +v_2)=0</math>. ואכן, <math>A(\alpha v_1 +v_2)=\alpha Av_1+Av_2=\alpha 0+0 =0+0=0</math>. 3. מרחב המטריצות <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math> א. המטריצות מסוג <math>W=\{\left(\begin{array}{cccc}a & 0 & \cdots & 0\\0 & 0 & & 0\\\vdots & & \ddots & 0\\0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\}</math>הן תת מרחב.  נוכיח :# ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math>(b) המטריצות הסימטריות W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\} ֱ הן תת מרחב )בתרגיל(.  (c) המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\textnormal{\,\ or\,}A^{t}=-A\} אינו תת מרחב כי \left(\begin{array}{cc}0 & 1\\-1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right)\in W אבל \left(\begin{array}{cc}0 & 1\\-1 & 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right)\notin W . .3 V=\mathbb{R}_{2}[x] מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל \mathbb{R} .  (a) W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\} הינו תת מרחב כי באופן כללי \mathbb{R}_{n}[x] הוא מרחב וקטורי. (b) W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\} הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב V לא נמצא ב W 0\notin W . .4 V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{Q} . (a) W=\mathbb{Q} הוא תת מרחב כי לכל v,w\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} מתקיים \alpha v+w\in W . .5 V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} . (a) W=\mathbb{Q} הוא אינו תת מרחב כי 1\in W,\,\sqrt{2}\in\mathbb{F} אבל 1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}\notin W