שינויים
/* שאלה כללית על סדרות */
ארז, אתה יכול בבקשה להסביר מה ההבדל בין סדרה מתכנסת לסדרה חסומה ומה זה אומר לי אם סדרה מתכנסת או אם סדרה חסומה? ואיך זה קשור לגבול של הסדרה ולגבולות החלקיים?
תודה!
===תשובה===
סדרה '''מתכנסת''' אם היא מקיימת את הגדרת הגבול (שנמצאת בדף הראשי של הקורס באתר). זה קורה כאשר, בערך, כל איברי הסדרה מתקרבים לנקודה אחת - הגבול (זו לא אמירה מדוייקת כמובן). סדרה הינה חסומה, אם קיים M כך שהתנאי הבא מתקיים <math>\forall n\in\mathbb{N}:|a_n|\leq M</math> כלומר '''כל איברי הסדרה''' חסומים על ידי גדול קבוע כלשהו (זו '''כן''' אמירה מדוייקת). הם לא חייבים להתקרב לנקודה מסוימת, פשוט אסור להם להיות גדולים או קטנים מידי.
דוגמאות:
*<math>a_n=\frac{1}{n}</math> סדרה שמתכנסת לאפס
*<math>b_n=sin(n)</math> סדרה חסומה (שכן כל האיברים שלה בין מינוס אחד לבין אחד), אבל היא אינה מתכנסת (איבריה זזים כל הזמן בין מינוס אחד לאחד ואינם מתקרבים לנקודה מסוימת).
גבול של סדרה קיים אם היא מתכנסת, הוא הנקודה אליה איברי הסדרה מתקרבים כפי שתארתי למעלה. גבול חלקי של סדרה הוא נקודה שמתקרבים אליה אינסוף איברים מהסדרה, אבל לא כולם (כלומר, יש תת-סדרה שמתכנסת אליו)
לדוגמא:
*נתבונן בסדרה
<math>1,1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},1,\frac{1}{2}...</math>
אין לה גבול, מכיוון שאין נקודה שכל איברי הסדרה מתקרבים אליה. אבל למשל <math>\frac{1}{2}</math> הוא גבול חלקי, כי אנחנו יכולים לקחת את תת הסדרה שמכילה אך ורק את האיברים ששוים לחצי.
== שאלה בקשר ל1 ה. ==
הגעתי לביטוי עם n שתמיד קטן מאחד, בחזקת n. מותר לי להגיד, על פי התזכורת, שהסדרה מתכנסת לאפס, כי הביטוי בחזקת n הוא תמיד קטן מאחד כמו שאלפה בתזכורת תמיד קטנה מאחד? תודה!
