שינויים

==שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים==

# <math>\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>|x-3|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה: '' אם התחום היה , למשל, <math>[4,5]</math> היינו מחשבים יכולים לחשב לפי שטח טרפז.# <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2+c</math>{{משל}}# <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math> והאינטגרל . האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>.{{משל}}

'''המטרה:''' להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה. : <math>F(x)=\int f(x)\mathrm dx</math> ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, <math>\frac{\mathrm d\ln(x)}{\mathrm dx}=\frac1x</math> ולכן <math>\int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+c</math>

זה שווה ל-{{left|<math>\begin{align}2\int\frac{x^4-1+1}{1+x^2}\mathrm dx&=2\int\left(\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}+\frac1{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}\\&=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c\end{align}</math>}}{{משל}}

באופן טכני נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-==דוגמה 2==חשב <math>I=\mathbb Rint\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}</math>.===פתרון==='''דרך א:''' מתקיים <math>I=4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}</math>. אם מצטמצם זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפס להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמהאת '''דרך ב: ''' {{left|<math>\begin{align}I&=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2+1(x)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}\\&=\tan(x)-\cot(x)+c\end{align}</math>}}{{משל}}

===דוגמה 2===<math>\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}</math>.דרך א: האינטגרל הוא <math>4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}</math>. זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה אתדרך ב: <math>\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}=\tan(x)-\cot(x)+c</math> בדיקה: אפשר לגזור על ניתן לבדוק זאת ע"י גזירת הפונקציה הקדומה ולבדוק אם הגענו לתשובה הנכונה, אבל כמובן שההוכחה הזו מספיקה.

===דוגמה 3===

====פתרון====נציב <math>y=\sin(x)</math> ולכן <math>\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math>. נחזור לתרגילאזי האינטגרל הוא: <math>\int y^5\mathrm dy=\frac{y^6}6+c=\frac{\sin^6(x)}6+c</math>. {{משל}}

<!--'''באופן כללי: ''' בפונקציות מהצורה <math>\sin^n(x)\cos^m(x)</math> (עבור <math>n,m\in\mathbb N</math>) נשתמש בשיטת ההצבה אם <math>m+n</math> אי זוגי. אם זוגי ננסה להשתמש בזהויות השונות. לדוגמה, באופן הבא:נציב <math>y=\sincos^\frac{m+1}2(x)</math> ואז <math>\mathrm dy=\frac{m+1}2\cos^{\frac{m+1}2-1}(x)\sin(x)\mathrm dx</math> ולכן <math>\sin^n(x)\cos^m(2xx)}2=</math>

'''אינטגרציה בחלקים:''' הכלל אם <math>n+m</math> זוגי ננסה להשתמש בזהויות השונות, כמו<math>\int f(x)g'sin^2(x)=\mathrm dx=f(x)g(x)frac{1-\int f'cos(x2x)g(x)\mathrm dx}2</math>.-->

---- '''אינטגרציה בחלקים:''' <math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>. ==דוגמה 4===

# <ol><li><math>\int xe^x\mathrm dx</math>. ===פתרון: ===לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר <math>f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x</math>. לכן האינטגרל שווה ל-<math>xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c</math>. {{משל}} <!--'''מסקנה:''' כל לכל פולינום ממעלה <math>n\in\mathdd mathbb N</math> כפול פונקציה שמקיימת (עבור <math>m\in\mathdd mathbb N</math>כלשהו) <math>g^{(m)}(x)=g(x)</math> נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון.--></li># <li><math>\int\ln(x)\mathrm dx</math>. ===פתרון: ===נסמן <math>f(x)=\ln(x)\ \and\ g(x)=x</math> ואז <math>x\ln(x)-\int\frac{\mathrm dx}x=x\ln(x)-x+c</math>.{{משל}}</li># <li><math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math> ===פתרון: ===<math>f(x)=\sin(x)\ \and\ g(x)=e^x</math> ואז <math>\sin(x)e^x-\int\cos(x)e^x\mathrm dx</math>. ולפי אינטגרציה שנייה: <math>\sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math> ולכן <math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx=\frac12\left(\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\right)+c</math>.{{משל}}

'''מסקנה: ''' במקרה של -f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, ונשתמש נשתמש בשיטה זו.</li></ol>

בשיטת ההצבה, <math>y=3^x\implies\mathrm dy=\frac{3^x}{\ln(3)}\mathrm dx</math> והאינטגרל הנ"ל שווה ל-<math>\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c</math>. {{משל}}