הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"
מתוך Math-Wiki
(המשך יבוא) |
מ (המשך יבוא) |
||
שורה 21: | שורה 21: | ||
:* '''מונוטוניות:''' אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. | :* '''מונוטוניות:''' אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. | ||
::* '''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>. | ::* '''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>. | ||
− | :* '''הכללה לאי-שיוויון המשולש:''' | + | :* '''הכללה לאי-שיוויון המשולש:''' אם <math>|f|</math> אינטגרבילית בקטע אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>. |
:* אם <math>m\le f(x)\le M</math> בקטע אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. | :* אם <math>m\le f(x)\le M</math> בקטע אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. | ||
::* בפרט, אם <math>|f(x)|\le M</math> אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>. | ::* בפרט, אם <math>|f(x)|\le M</math> אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>. |
גרסה מ־10:05, 17 באפריל 2011
אינטגרלים
- אם
ו-
קדומות ל-
בקטע
אז קיים קבוע
כך ש-
.
- לכל פונקציה
מוגדרת וחסומה בקטע
מתקיים:
- אם
חלוקה של הקטע אזי
.
- אם
חלוקה של הקטע ו-
עידון של
כך ש-
(כלומר,
מתקבלת מ-
ע"י הוספת
נקודות) אזי
וכן
.
- לכל שתי חלוקות
ו-
של הקטע מתקיים
.
- אם
אינטגרבילית בקטע אז
.
- לכל חלוקה
מתקיים
וגם
.
-
אינטגרבילית בקטע אם"ם
.
-
אינטגרבילית בקטע אם"ם לכל
קיימת חלוקה
של
כך ש-
.
- אם
רציפה בקטע אזי היא אינטגרבילית בו.
- הכללה: אם
רציפה ב-
אזי היא אינטגרבילית ב-
.
- הכללה להכללה: אם
רציפה ב-
פרט למספר סופי של נקודות אז
אינטגרבילית ב-
.
- הכללה להכללה: אם
- הכללה: אם
- נניח ש-
. אזי
אינטגרבילית ב-
וב-
אם"ם היא אינטגרבילית ב-
, ואם כן אז
.
- הכללה: עבור
כנ"ל ו-
(הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים
.
- הכללה: עבור
- תהי
חלוקה נוספת של
כך ש-
. אזי
. יתר על כן,
ו-
.
- הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
- אם
- אם
מוגדרת ומונוטונית בקטע
אזי היא אינטגרבילית בו.
- תהיינה
אינטגרביליות ב-
, ו-
קבוע. אזי:
- לינאריות:
.
- מונוטוניות: אם
אז
.
- חיוביות: בפרט מתקיים שאם
אזי
.
- חיוביות: בפרט מתקיים שאם
- הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם
אינטגרבילית בקטע אז
.
- אם
בקטע אז
.
- בפרט, אם
אז
.
- בפרט, אם
(פונקציה קבועה) אז
.
- בפרט, אם
- לינאריות:
- המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי
אינטגרבילית ב-
, ותהי
כך ש-
.
-
מוגדרת ורציפה ב-
.
- לכל
שבה
רציפה,
קדומה ל-
(כלומר,
גזירה ו-
).
- נוסחת ניוטון-לייבניץ: נניח ש-
רציפה ב-
. אזי
.
-
- אם
רציפה בקטע אז יש לה שם פונקציה קדומה.