הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/10.4.11"
מ (←אינטגרל לא אמיתי {{הערה|(המשך)}}) |
(←משפט 7) |
||
שורה 68: | שורה 68: | ||
מצד שני, אם f מקיימת את תנאי קושי, אז קיים <math>b>a</math> כך שלכל <math>x_2\ge x_1>b</math> מתקיים <math>|f(x_2)-f(x_1)|<1</math>. נקבע <math>x_1=b+1</math> ונובע שלכל <math>x_2>b+1</math> מתקיים <math>|f(x_2)-f(b+1)|<1</math>. לכן אם <math>x_2>b+1</math> אז <math>|f(x_2)|-|f(b+1)|\le\Big||f(x_2)|-|f(b+1)|\Big|\le|f(x_2)-f(b+1)|<1</math> ומכאן ש-<math>|f(x_2)|<|f(b+1)|+1</math>. לכן f חסומה בקטע <math>[b+1,\infty)</math> ולכן <math>\{f(b+1),\ f(b+2),\ f(b+3),\ \dots\}</math> סדרה חסומה. יש לה תת סדרה מתכנסת <math>\{f(b+n_k)\}_{k\in\mathbb N}</math> כך ש-<math>\lim_{k\to\infty} f(b+n_k)</math> קיים ונאמר שהוא <math>L\in\mathbb R</math>. טענה: <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ושווה ל-L. הוכחה: <math>\lim_{k\to\infty} f(b+n_k)=L</math> ולכן עבור <math>\varepsilon>0</math> נתון קיים <math>k_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>k\ge k_0</math> אז <math>|f(b+n_k)-L|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן, עפ"י תנאי קושי יש מספר <math>c>a</math> כך שאם <math>x_2>x_1>c</math> אז <math>|f(x_2)-f(x_1)|<\frac\varepsilon2</math>. עתה נגדיר <math>d:=\max\{b+n_{k_0},c\}</math> ולכן <math>|f(x)-L|\le|f(x)-f(d)|+|f(d)-L|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. {{משל}} | מצד שני, אם f מקיימת את תנאי קושי, אז קיים <math>b>a</math> כך שלכל <math>x_2\ge x_1>b</math> מתקיים <math>|f(x_2)-f(x_1)|<1</math>. נקבע <math>x_1=b+1</math> ונובע שלכל <math>x_2>b+1</math> מתקיים <math>|f(x_2)-f(b+1)|<1</math>. לכן אם <math>x_2>b+1</math> אז <math>|f(x_2)|-|f(b+1)|\le\Big||f(x_2)|-|f(b+1)|\Big|\le|f(x_2)-f(b+1)|<1</math> ומכאן ש-<math>|f(x_2)|<|f(b+1)|+1</math>. לכן f חסומה בקטע <math>[b+1,\infty)</math> ולכן <math>\{f(b+1),\ f(b+2),\ f(b+3),\ \dots\}</math> סדרה חסומה. יש לה תת סדרה מתכנסת <math>\{f(b+n_k)\}_{k\in\mathbb N}</math> כך ש-<math>\lim_{k\to\infty} f(b+n_k)</math> קיים ונאמר שהוא <math>L\in\mathbb R</math>. טענה: <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ושווה ל-L. הוכחה: <math>\lim_{k\to\infty} f(b+n_k)=L</math> ולכן עבור <math>\varepsilon>0</math> נתון קיים <math>k_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>k\ge k_0</math> אז <math>|f(b+n_k)-L|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן, עפ"י תנאי קושי יש מספר <math>c>a</math> כך שאם <math>x_2>x_1>c</math> אז <math>|f(x_2)-f(x_1)|<\frac\varepsilon2</math>. עתה נגדיר <math>d:=\max\{b+n_{k_0},c\}</math> ולכן <math>|f(x)-L|\le|f(x)-f(d)|+|f(d)-L|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. {{משל}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.4.11|הרצאה שאחריה]]:}} | ||
+ | |||
+ | ===מסקנה=== | ||
+ | תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי האינטגרל <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרל מקיים את תנאי קושי: לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שאם <math>x_2>x_1>x_0</math> אז <math>\left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math>. | ||
+ | ====הוכחה==== | ||
+ | לכל <math>x>a</math> נגדיר <math>F(x)=\int\limits_a^x f</math> ולכן <math>\int\limits_{x_1}^{x_2} f=F(x_2)-F(x_1)</math>. כמו כן מתקיים <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_a^\infty f</math>. עתה, <math>\lim_{x\to\infty}F(x)</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ |F(x_2)-F(x_1)|<\varepsilon</math>, וזה נכון אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math>. {{משל}} |
גרסה מ־17:03, 4 במאי 2011
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
משפט 4 (מבחן ההשוואה)
נניח ש- ונניח ש-f,g אינטגרביליות מקומית ב-
. אזי:
- אם
מתכנס אז
מתכנס.
- אם
מתבדר אז
מתבדר.
הוכחה
- עפ"י משפט 3 מתקיים
, כלומר
. כעת, אם
מתכנס אז הוא קטן מ-
, ולכן
ומתכנס.
- הוכחה טריוויאלית בדרך השלילה, בעזרת סעיף 1.
משפט 5 (מבחן ההשוואה הגבולי)
נניח ש-f ו-g אינטגרביליות מקומית ואי-שליליות ב-. עוד נניח שקיים
. אם
מתכנס אז
.
הוכחה
כיוון ש- קיים
כך שלכל
מתקיים
, ז"א
. נתון ש-g אינטגרבילית ב-
, ולכן, לפי משפט 2, היא אינטגרבילית ב-
. לפי משפט 1 גם
אינטגרבילית ב-
. נובע מכך, יחד עם משפט 4, ש-f אינטגרבילית בקטע
ולפי משפט 2 היא אינטגרבילית ב-
.
מסקנה
בתנאים הנ"ל, אם מתקיים גם ש- אז
מתכנס אם"ם
.
הוכחה
לפי משפט 5 אם מתכנס אז
. נותר להוכיח את הכיוון השני. מכיוון ש-
מתקיים
ולכן, שוב לפי משפט 5, אפשר להסיק ש-
מתכנס אם
מתכנס.
דוגמאות
עבור כל אחד מהאינטגרלים הבאים נבדוק אם הוא מתכנס או מתבדר.
:
פתרון
כידוע, עבור x גדול החזקות הגדולות קובעות את סדר הגודל של הביטוי. לכן עבור
הפונקציה בסדר גודל
. נגדיר
וכן
. אזי
. לכן האינטגרל מתבדר.
-
:
פתרון
נגדיר
וכן
. מתקיים
. אבל
, כלומר מתבדר. לכן גם האינטגרל הנתון מתבדר.
-
:
פתרון
נחשב את
: נפעיל את כלל לופיטל 52 פעמים ונקבל
. לכן אם
מתכנס (מה שאכן מתקיים) אז האינטגרל הנתון מתכנס.
משפט 6 (המבחן האינטגרלי לטורים)
נניח ש-f פונקציה יורדת, אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- (עבור
כלשהו). אזי
.
הוכחה
נזכר בהגדרת דרבו של האינטגרל. הוא סכום עליון של
ו-
הוא סכום תחתון. נסיק ש-
. כעת אם נתון ש-
מתכנס אז הסכומים החלקיים
חסומים מלעיל, ומכאן נובע שהאינטגרלים החלקיים
חסומים מלעיל. נשאיף
ומכיוון ש-
האינטגרל
מתכנס. מאידך, אם נתון כי
אז האינטגרלים החלקיים
חסומים מלעיל, לכן הסכומים החלקיים
חסומים מלעיל ומכיוון ש-
נובע ש-
מתכנס
מתכנס.
מסקנה
בהוכחה הראינו שבתנאים הללו מתקיים .
דוגמאות
-
- מתכנס או מתבדר?
פתרון
נגדיר
, אזי f יורדת, אינטגרבילית מקומית ואי-שלילית ב-
. עפ"י משפט 6 התכנסות הטור שקולה להתכנסות האינטגרל
, שמתבדר:
(אם כי ההתכנסות איטית מאוד).
- ידוע לנו ש-
. אם נקח, למשל,
, מהו סדר הגודל של השארית R?
פתרון
נחסום את השארית מלעיל ומלרע בעזרת המסקנה למשפט 6. נגדיר
אזי
. מתקיים
. כמו כן
ולכן
.
לסיכום, השארית מקיימת
.
פיתחנו כמה משפטים על התכנסות עבור f אי-שלילית. עתה נחזור לפונקציה כללית f שאינטגרבילית מקומית ב-
.
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע . נאמר ש-f מקיימת את תנאי קושי עבור
אם לכל
קיים
כך שאם
אז
.
משפט 7
תהי f מוגדרת בקטע .
קיים ממש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
הוכחה
תחילה נניח שקיים ונאמת את תנאי קושי. יהי
נתון. לפי ההגדרה קיים
כך שאם
אז
. מכאן נובע שאם
אז
ולכן מתקיים תנאי קושי.
מצד שני, אם f מקיימת את תנאי קושי, אז קיים כך שלכל
מתקיים
. נקבע
ונובע שלכל
מתקיים
. לכן אם
אז
ומכאן ש-
. לכן f חסומה בקטע
ולכן
סדרה חסומה. יש לה תת סדרה מתכנסת
כך ש-
קיים ונאמר שהוא
. טענה:
קיים ושווה ל-L. הוכחה:
ולכן עבור
נתון קיים
כך שאם
אז
. כמו כן, עפ"י תנאי קושי יש מספר
כך שאם
אז
. עתה נגדיר
ולכן
.
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
מסקנה
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. אזי האינטגרל
מתכנס אם"ם האינטגרל מקיים את תנאי קושי: לכל
קיים
כך שאם
אז
.
הוכחה
לכל נגדיר
ולכן
. כמו כן מתקיים
. עתה,
מתכנס אם"ם
, וזה נכון אם"ם
.