88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1

שיעור ראשון

שדות

הגדרה

קבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור [math]\displaystyle{ (\mathbb{F},\cdot,+) }[/math] נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות- [math]\displaystyle{ \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F} }[/math]. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
2. קומוטטיביות/חילופיות- [math]\displaystyle{ \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a }[/math]
3. אסוציאטיביות- [math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c) }[/math]
4. קיום איברים נייטרליים- קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a }[/math]. בנוסף מתקיים ש[math]\displaystyle{ 0\neq 1 }[/math]
5. קיום איבר נגדי לחיבור- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו [math]\displaystyle{ (-a) }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ a+(-a)=0 }[/math]. לצורך קיצור הכתיבה נסמן [math]\displaystyle{ a+(-a)=a-a }[/math] (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
6. קיום איבר הופכי לכפל- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ a\cdot a^{-1} = 1 }[/math]. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה [math]\displaystyle{ a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b} }[/math]
7. דיסטריביוטיביות/פילוג- [math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c }[/math]. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור

תרגיל 1.3 סעיף ג'

יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0 }[/math], כאשר 0 הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.

פתרון

ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות.

לפי תכונה (4) מתקיים ש [math]\displaystyle{ 0+0=0 }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a }[/math]

לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף ש[math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a }[/math] (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))

לפי תכונה (5) לאיבר [math]\displaystyle{ 0\cdot a \in\mathbb{F} }[/math] קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + (-(0\cdot a)) }[/math]

לפי תכונה (3) ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + (0\cdot a + (-(0\cdot a))) }[/math]

עוד לפי תכונה (5) יחד עם תכונה (4) מתקיים ש[math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0 = 0\cdot a }[/math] בדיוק כפי שנדרשנו לגזור.