משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים

במשפטים הבאים, אלא אם צויין אחרת, נסמן:

• [math]\displaystyle{ c }[/math] הוא קבוע.
• [math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות.
• הקטע הנתון הוא הקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
• אם מצויין שלפונקציה יש תכונה מסויימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "[math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה" = "[math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]").
• [math]\displaystyle{ P }[/math] היא חלוקה [math]\displaystyle{ \{x_0,x_1,\dots,x_n\} }[/math] של הקטע הנתון כך ש-[math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math].

• [math]\displaystyle{ Q }[/math] היא העדנה של [math]\displaystyle{ P }[/math].
• [math]\displaystyle{ P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\} }[/math] היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k] }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \forall 2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k }[/math].

אינטגרלים

• אם [math]\displaystyle{ F }[/math] ו-[math]\displaystyle{ G }[/math] קדומות ל-[math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה כלשהי אז קיים [math]\displaystyle{ c }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ F(x)=G(x)+c }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a) }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ |Q|=|P|+r }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ Q }[/math] מתקבלת מ-[math]\displaystyle{ P }[/math] ע"י הוספת [math]\displaystyle{ r }[/math] נקודות) ו-[math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה בקטע אזי [math]\displaystyle{ 0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega }[/math] וכן [math]\displaystyle{ 0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega }[/math].
• לכל חלוקה [math]\displaystyle{ Q }[/math] של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של [math]\displaystyle{ P }[/math]), אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה בקטע אזי [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le\overline S(f,Q) }[/math].
• לכל [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מתקיים [math]\displaystyle{ \underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f }[/math].
• תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה. אזי [math]\displaystyle{ \underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P) }[/math].
• נניח ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה. [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית אם"ם [math]\displaystyle{ \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0 }[/math].
• נניח ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה. [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית אם"ם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיימת חלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \overline S(f,P)-\underline S(f,P)\lt \varepsilon }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה אז [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית.

• הכללה: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה וחסומה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית.

• הכללה להכללה: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית.

• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
• נניח ש-[math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ב-[math]\displaystyle{ [a,c] }[/math] וב-[math]\displaystyle{ [c,b] }[/math] אם"ם היא אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ואם כן אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f }[/math].

• הכללה: עבור [math]\displaystyle{ f }[/math] כנ"ל ו-[math]\displaystyle{ a=x_0,x_1,\dots,x_n=b }[/math] (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f }[/math].

• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה אז [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P) }[/math]. יתר על כן, [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)=\inf_{P'}S(f,P,P') }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \overline S(f,P)=\sup_{P'}S(f,P,P') }[/math].
• הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
• לינאריות: עבור [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינטגרביליות מתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g }[/math].
• מונוטוניות: אם [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינטגרביליות וכן [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g }[/math].

• חיוביות: בפרט מתקיים שאם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרביליות ואי-שלילית אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\ge0 }[/math].

• הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם [math]\displaystyle{ |f| }[/math] אינטגרבילית אז [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ו-[math]\displaystyle{ \left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f| }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית וחסומה אז [math]\displaystyle{ m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a) }[/math].

• מקרה פרטי: אם [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M }[/math] ו-[math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית אז [math]\displaystyle{ \left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a) }[/math].

• מקרה פרטי: אם [math]\displaystyle{ f(x)=M }[/math] (פונקציה קבועה) אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=M(b-a) }[/math].

• המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ותהי [math]\displaystyle{ F }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ F }[/math] רציפה וכן לכל נקודה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] שבה [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה, [math]\displaystyle{ F }[/math] קדומה ל-[math]\displaystyle{ f }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ F }[/math] גזירה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ו-[math]\displaystyle{ F'=f }[/math]).
• נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a) }[/math].
• לכל [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה יש פונקציה קדומה.
• אינטגרציה בחלקים: נניח כי [math]\displaystyle{ f',g' }[/math] רציפות. אזי [math]\displaystyle{ \int f(x)g(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx }[/math].

• [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g }[/math]

• שיטת ההצבה: [math]\displaystyle{ \int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x)){\color{Gray}+c} }[/math].

• [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\mathrm dg(x) }[/math]

• כל פונקציה רציונלית [math]\displaystyle{ \frac pq }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \deg(p)\lt \deg(q) }[/math] ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים [math]\displaystyle{ \frac A{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ A,B,C,x_0\in\mathbb R }[/math] ול-[math]\displaystyle{ x^2+bx+c }[/math] אין שורשים ממשיים.
• נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-[math]\displaystyle{ f }[/math] אי-שלילית בין [math]\displaystyle{ a }[/math] ל-[math]\displaystyle{ b }[/math] סביב ציר ה-[math]\displaystyle{ x }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b \pi f^2 }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה אז הממוצע שלה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac1{b-a}\int\limits_a^b f }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx }[/math].
• שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה סביב ציר ה-[math]\displaystyle{ x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx }[/math].
• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת [math]\displaystyle{ n }[/math]-ית רציפה. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ P_n }[/math] הוא פיתוח טיילור מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math] של [math]\displaystyle{ f }[/math] והשארית היא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\} }[/math] כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת רציפה והחלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] היא חלוקה שווה כאשר לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Delta x_k=h }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k) }[/math] והשארית חסומה ע"י [math]\displaystyle{ \frac{b-a}2Mh }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ M=\max_{x\in[a,b]}\left|f'(x)\right| }[/math].
• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] היא חלוקה שווה כאשר לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Delta x_k=h }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k) }[/math] והשארית חסומה ע"י [math]\displaystyle{ \frac5{12}(b-a)Mh^2 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right| }[/math].
• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] היא חלוקה שווה כאשר לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Delta x_k=h }[/math] ו-[math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right) }[/math] והשגיאה חסומה ע"י [math]\displaystyle{ \frac{b-a}{180}Mh^4 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right| }[/math].
• תהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינטגרביליות ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f+cg }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g }[/math].
• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ b\gt a }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [b,\infty) }[/math] ואם כן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f }[/math].
• [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית עולה ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x) }[/math] קיים אם"ם [math]\displaystyle{ \sup_x f(x)\lt \infty }[/math] ואם כן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x\gt a} f(x) }[/math].
• [math]\displaystyle{ f }[/math] אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^R f }[/math] חסומים מלעיל, ואם לא אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f=\infty }[/math].
• מבחן ההשוואה: נניח ש-[math]\displaystyle{ f,g }[/math] אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס.
• מבחן ההשוואה הגבולי: [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס.

• מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

• המבחן האינטגרלי לטורים: תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ [k,\infty) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] כלשהו. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_k^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \sum_{n=k}^\infty f(n) }[/math] מתכנס.

• הכללה: בפרט מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n) }[/math].

• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x) }[/math] קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists x_0\gt a:\ \forall x_2\gt x_1\gt x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|\lt \varepsilon }[/math].
• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ |f| }[/math] אינטגרבילית בקטע אזי גם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בו.
• מבחן דיריכלה: תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ונניח שהאינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] חסומים כאשר [math]\displaystyle{ b\to\infty }[/math]. כמו כן תהא [math]\displaystyle{ g }[/math] מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}g(x)=0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f\cdot g }[/math] מתכנס.
• סכימה בחלקים: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n a_k }[/math].
• משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^N a_n }[/math] יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-[math]\displaystyle{ \{b_n\} }[/math] סדרה מונוטונית כך ש-[math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_nb_n }[/math] מתכנס.
• אם [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינטגרביליות ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ c }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g }[/math].
• עבור [math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math] ו-[math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math], [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע אם"ם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ (a,c] }[/math], ואם כן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_b^c f }[/math].
• תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}f(x) }[/math] קיים אם"ם [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אז [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אם"ם האינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_c^b f }[/math] חסומים כאשר [math]\displaystyle{ c\to a^+ }[/math].
• מבחן ההשוואה: [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g }[/math] מתכנס אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס.
• מבחן ההשוואה הגבולי: [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] וקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס.

• מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a\lt x_1\lt x_2\lt x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|\lt \varepsilon }[/math].
• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b |f| }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס.