88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5

צירופים לינאריים, תלות לינארית ומרחבים נפרשים (span)

הגדרת צירוף לינארי

יהי V מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n\in V }[/math] וקטורים במרחב. צירוף לינארי של [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] הינו וקטור במרחב [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] כך שקיימים סקלרים בשדה [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{F} }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math].

הגדרת המרחב הנפרש (span)

בתנאי ההגדרה לעיל; המרחב הנפרש על ידי הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] מוגדר להיות קבוצת (אוסף) כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים הללו. כלומר, [math]\displaystyle{ span\{v_1,...,v_n\}=\{v\in V|\exists a_1,...,a_n\in\mathbb{F}:a_1v_1+...+anv_n=v\} }[/math].

שימו לב: span של קבוצה אינסופית הוא אוסף הצירופים הלינאריים של כל קבוצה סופית של וקטורים שנבחר מבין המרחב כולו.

תכונות המרחב הנפרש

עד כה תארנו את הspan כקבוצה ואילו פנינו אליו בשם 'מרחב'. הסיבה היא שהspan הינו תמיד תת-מרחב כפי שקל להוכיח באמצעות הקריטריון המקוצר - צירוף לינארי של צירופים לינאריים הינו צירוף לינארי בעצמו. לא רק שהמרחב הנפרש הוא אכן מרחב, הוא המרחב הקטן ביותר המכיל את הקבוצה אותה הוא פורש:

תרגיל

יהי V מ"ו ותהי A תת קבוצה שלו. הוכח שלכל תת מרחב W כך ש A מוכלת בW, מתקיים ש [math]\displaystyle{ spanA\subseteq W }[/math].

הוכחה

אם [math]\displaystyle{ v\in spanA }[/math] אזי קיימים וקטורים וסקלרים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k\in A }[/math], [math]\displaystyle{ a_1,...,a_k\in\mathbb{F} }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_kv_k }[/math]. מתוך הנתון ש[math]\displaystyle{ A\subseteq W }[/math] נובע ש[math]\displaystyle{ v_1,...,v_k\in W }[/math] ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W }[/math] משל.

קל לראות ש[math]\displaystyle{ U+W=span\{U\cup W\} }[/math], וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.

תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרון מערכת משוואות לינאריות

הוכח:

• [math]\displaystyle{ b\in span\{v_1,...,v_n\} }[/math] אם"ם קיים פתרון למערכת [math]\displaystyle{ Ax=b }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ A=(v_1 v_2 \cdots v_n) }[/math] הינה המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math]

• במקרה זה הפתרון x הינו וקטור הסקלרים של הצירוף הלינארי שנותן את b. כלומר, כאשר [math]\displaystyle{ x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ b=x_1v_1+...+x_nv_n }[/math]

• נניח והוקטורים שייכים למרחב [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math]. הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד הנותן את b אם"ם המטריצה הינה הפיכה. מה ניתן להסיק על הוקטורים במקרה זה?

פתרון

• לפי כפל עמודה נכון לאמר ש [math]\displaystyle{ Ax=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n }[/math]. לפיכך, ברור שקיים פתרון למערכת Ax=b אם"ם קיימים סקלרים כך ש [math]\displaystyle{ b=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n }[/math]. אמנם התרגיל הזה טריוויאלי למדי אך חשוב מאד לזכור תוצאה זו, היא תשמש אותנו בהמשך רבות. בניסוח קליט: Ax הינה צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מ-x.

• אם הוקטורים שייכים למרחב [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] יוצא שהמטריצה הינה ריבועית ולכן למערכת יש פתרון יחיד אם"ם A הפיכה