88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 6

עוצמות

הגדרה. יהיו A,B שתי קבוצות. אזי:

• אם קיימת פונקציה חח"ע מA לB אזי העוצמה של B גדולה או שווה לזו של A.
• אם קיימת פונקציה חח"ע ועל מA לB אזי אומרים שלA ולB יש אותה עוצמה

דוגמא. יהיו A וB שתי קבוצות סופיות. אזי אם מספר האיברים בהן שווה עוצמתן שווה, ואם מספר האיברים בA גדול מזה של B אזי עוצמתה של A גדולה יותר.

לכל קבוצה סופית בעלת n איברים, נאמר שעוצמתה הינה n.

הערה. יחס "עוצמות שוות" הינו יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי. הסיבה שאנו לא מגדירים עוצמה כיחס שקילויות היא כי לא קיימת קבוצת כל הקבוצות עליה ניתן להגדיר יחס זה. אבל עדיין ניתן להשתמש בתכונות כמו טרנזיטיביות.

תרגיל. הוכח שעוצמות הקבוצות הבאות שוות: [math]\displaystyle{ \mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q} }[/math]

הוכחה: נבנה פונקציות חח"ע ועל ונוכיח מספר טענות עזר בדרך.

• נגדיר [math]\displaystyle{ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z} }[/math] ע"י
  • אם n זוגי אזי [math]\displaystyle{ f(n)=\frac{n}{2} }[/math]
  • אחרת, [math]\displaystyle{ f(n)=-\frac{n-1}{2} }[/math]

קל לוודא שפונקציה זו חח"ע ועל לכן עוצמת השלמים ועוצמת הטבעיים שווה.

טענה. אם [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |A|\leq |B| }[/math]. קל לבנות פונקציה מA לB ששולחת כל איבר בA לעצמו, זו פונקציה חח"ע.

טענה. אם A קבוצה וR יחס שקילויות על הקבוצה אזי עוצמת קבוצת המנה קטנה או שווה לעוצמה של A. נוכיח טענה זו בהמשך הקורס באמצעות אקסיומת הבחירה.

טענה. מתקיים ש [math]\displaystyle{ |\mathbb{N}|=|\mathbb{N}\times \mathbb{N}| }[/math].

הוכחה. נביט באוסף הזוגות הסדורים של מספרים טבעיים, ונחלק אותם לקבוצות לפי סכום האיברים בזוג. בקבוצה הראשונה יהיה הזוג (1,1), בקבוצה השנייה יהיו הזוגות (1,2),(2,1), בקבוצה השלישית יהיו הזוגות (1,3),(2,2),(3,1) וכדומה.

נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\times\mathbb{N} }[/math] באופן הבא:

• 1 נשלח לזוג הראשון בקבוצה הראשונה
• 2 נשלח לזוג הראשון בקבוצה השנייה
• 3 נשלח לזוג השני בקבוצה השנייה
• 4 נשלח לזוג הראשון בקבוצה השלישית
• ...

קל לראות שפונקציה זו מוגדרת היטב. לכל מספר טבעי פשוט עוקבים אחרי התהליך הזה ורואים לאיזה זוג הוא נשלח. כמו כן, לכל זוג ניתן לעבור על התהליך עד שיגיע המספר שישלח אליו.

כמו כן קל לראות שפונקציה זו חח"ע וגם על.

טענה. מתקיים ש [math]\displaystyle{ |\mathbb{Z}|=|\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}| }[/math]. תרגיל בית.

נביט באוסף הזוגות הסדורים בהם האיבר הימני שונה מאפס. קבוצה זו מוכלת באוסף כל הזוגות ולכן עוצמתה קטנה מעוצמת השלמים. נחלק אוסף זה ביחס השקילות [math]\displaystyle{ (a,b)~(x,y) \iff ay=bx }[/math] ונקבל קבוצה מעוצמה אף קטנה יותר. קבוצת המנה שקיבלנו היא כמובן [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] ולכן קיבלנו ש [math]\displaystyle{ |\mathbb{Q}|\leq |\mathbb{Z}| }[/math].

בכיוון ההפוך, השלמים מוכלים ברציונאליים ולכן עוצמתם קטנה יותר ומכאן שעוצמת הרציונאליים שווה לעוצמת השלמים.

(השתמשנו במשפט קנטור-ברנשטיין: אם A וB קבוצות שעוצמתן קטנות זו מזו אזי עוצמתן שווה.)

עוצמתן של הקבוצות הנ"ל נקראת [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math]. קבוצות מעוצמה זו נקראות בנות מנייה.

שימו לב שכל קבוצה בת מנייה, ניתן למצוא פונקציה חח"ע ועל מהטבעיים אליה - כלומר, ניתן לסדר אותה בסדרה (ומכאן מגיע השם).

השוואות עוצמות

תרגיל. נביט באוסף כל הסדרות הבינאריות (01110010101011011...). נתאר אוסף זה באופן מדוייק: [math]\displaystyle{ B=\{f:\mathbb{N}\rightarrow \{0,1\}\} }[/math]. השווה בין העוצמה של B לבין אלף אפס.

פתרון. קיימת פונקציה על מהסדרות אל המספרים הטבעיים: נשלח כל סדרה שהחל ממקום מסויים היא קבועה אפס אל המספר שהיא מייצגת בבסיס בינארי. כל סדרה אחרת נשלח לאחד. (שימו לב שאת הסדרה הקבועה אפס נשלח גם לאחד לפי הגדרה...).

לכן עוצמת B גדולה או שווה לאלף אפס. נוכיח כי היא גדולה ממש.

נניח בשלילה שקיימת פונקציה g חח"ע ועל מהטבעיים אל B. לכן ניתן "לסדר" את כל הסדרות אחת אחרי השנייה:

[math]\displaystyle{ g(1)=0101010110110101001000100101... }[/math]

[math]\displaystyle{ g(2)=1101010001010010100010101010... }[/math]

[math]\displaystyle{ g(3)=0101010101011101010001010111... }[/math]

נבנה סדרה בינארית שקיימת בB אך לא ייתכן שהיא מתקבלת על ידי הפונקציה g (כלומר היא אינה בסדרה, בסתירה).

נגדיר את הפונקציה f שנותנת את הסדרה [math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}:f(n)= \neg g(n)_n }[/math]. כלומר לקחנו סדרה שהאיבר הראשון שלה שונה מהאיבר הראשון של הסדרה הראשונה, האיבר השני שונה מהאיבר השני של הסדרה השנייה וכן הלאה.

בדוגמא לעיל הסדרה תתחיל בשלושת האיברים [math]\displaystyle{ 101 }[/math] ולכן בוודאי לא תהיה אף אחת משלוש הסדרות הראשונות.

באופן כללי, לא ייתכן שסדרה זו נמצאת במקום k כלשהו בסדרת הסדרות, כי האיבר ה-k שלה שונה מהאיבר ה-k של הסדרה ה-k.

מסקנה. נובע מהתרגיל הקודם דיי בקלות שעוצמת הממשיים גדולה מזו של הטבעיים. (אם נסתכל על הסדרות הבינאריות כספרות אחרי הנקודה של מספרים ממשיים נראה שקבוצה זו מוכלת בממשיים).

עוצמת הממשיים נקראת [math]\displaystyle{ \aleph }[/math].