88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות סמסטר א תשעב: הבדלים בין גרסאות בדף
(←הודעות) |
(←הודעות) |
||
| שורה 39: | שורה 39: | ||
<math>=y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2}</math> | <math>=y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2}</math> | ||
עכשיו נוכל להשאיף <math>\omega \rightarrow \omega_0</math> ולקבל: | עכשיו נוכל להשאיף <math>\omega \rightarrow \omega_0</math> ולקבל (תוך כדי שימוש בכלל לופיטל): | ||
<math>y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0}\frac{\frac{d}{d \omega} (\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t})}{\frac{d}{d \omega} (\omega_0^2-\omega^2)}=</math> | <math>y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0}\frac{\frac{d}{d \omega} (\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t})}{\frac{d}{d \omega} (\omega_0^2-\omega^2)}=</math> | ||
גרסה מ־15:44, 8 בדצמבר 2011
88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות
קישורים
[math]\displaystyle{ \ \Longleftarrow }[/math]שאלות ותשובות[math]\displaystyle{ \ \Longrightarrow }[/math]
הודעות
העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין. שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל. --Michael 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)
לגבי התרגול היום (6.12.2011): הגענו לפתרון [math]\displaystyle{ y=c_1\cos{\omega_0t}+c_2\sin{\omega_0t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2} }[/math]
ומשם בלי ממש להסביר איך, שינינו קצת את [math]\displaystyle{ c_1 }[/math] כדי שהגבול יתכנס. הדרך המלאה היא כך:
[math]\displaystyle{ y(0)=c_1+\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ y'(0)=\omega_0 c_2 }[/math]
(לא קשה לראות שזה נכון). אפשר לבודד את הקבועים:
[math]\displaystyle{ c_1=y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ c_2=\frac{y'(0)}{\omega_0} }[/math]
ולכן הפתרון הוא:
[math]\displaystyle{ y=(y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2})\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ =y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2} }[/math]
עכשיו נוכל להשאיף [math]\displaystyle{ \omega \rightarrow \omega_0 }[/math] ולקבל (תוך כדי שימוש בכלל לופיטל):
[math]\displaystyle{ y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0}\frac{\frac{d}{d \omega} (\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t})}{\frac{d}{d \omega} (\omega_0^2-\omega^2)}= }[/math]
[math]\displaystyle{ =A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0} \frac{-t \sin{\omega t}}{-2\omega}=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\frac{t \sin{\omega_0 t}}{2\omega_0} }[/math]
כאשר:
[math]\displaystyle{ A_1=y(0) }[/math] ו- [math]\displaystyle{ A_2=\frac{y'(0)}{\omega_0} }[/math] הם קבועים חופשיים.
רצוי מאוד שתשתמשו בדרך המלאה הזו, ולא בדרך הקצרה יותר שלמדנו היום. --Michael 22:53, 6 בדצמבר 2011 (IST)