הבדלים בין גרסאות בדף "שורש של מטריצה הפיכה"
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "נוכיח שלצורת הג'ורדן של המטריצה <math>A</math> ו-<math>J_{A}A</math> יש שורש. בגלל שהיא הפיכה אז אין לה ער...") |
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) |
||
שורה 7: | שורה 7: | ||
\end{array}\right)</math> | \end{array}\right)</math> | ||
− | נניח באינדוקציה שלבלוק ג'ורדן מסדר n ונניח שלכל i רכיבי האלכסון הi כלומר הרכיבים מהצורה a_{j(j+i)} שווים ועוד נניח שהיא משולשית עליונה כל ההנחות מתקיימות עבור n=2,1 | + | נניח באינדוקציה שלבלוק ג'ורדן מסדר n ונניח שלכל i רכיבי האלכסון הi כלומר הרכיבים מהצורה <math>a_{j(j+i)}</math> שווים ועוד נניח שהיא משולשית עליונה כל ההנחות מתקיימות עבור n=2,1 |
נבדוק עבור n+1 | נבדוק עבור n+1 | ||
− | יהי B=\sqrt{J_{n}\left(\lambda\right)} נקח מטריצה A כך שהמינורים M_{11}=M_{nn}=B יש כזאת מטריצה בגלל ההנחה שב-B כל רכיבי האלכסון שווים נשים בתור a_{1,n+1}=\frac{-1}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}},a_{n1}=0 נוכיח A^{2}=J_{n+1}(\lambda) אם נקח עבור i,j>1 R_{i}\left(A\right)c_{j}\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n+1}a_{ik}a_{kj}=a_{i1}a_{1j}+\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,i-1}+a_{i,n+1}a_{n+1,j}=\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,j-1}=\begin{cases} | + | יהי <math>B=\sqrt{J_{n}\left(\lambda\right)}</math> נקח מטריצה A כך שהמינורים <math>M_{11}=M_{nn}=B</math> יש כזאת מטריצה בגלל ההנחה שב-B כל רכיבי האלכסון שווים נשים בתור <math>a_{1,n+1}=\frac{-1}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}},a_{n1}=0> נוכיח A^{2}=J_{n+1}(\lambda)</math> אם נקח עבור i,j>1 <math>R_{i}\left(A\right)c_{j}\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n+1}a_{ik}a_{kj}=a_{i1}a_{1j}+\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,i-1}+a_{i,n+1}a_{n+1,j}=\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,j-1}=\begin{cases} |
1 & i-1+1=j-1\\ | 1 & i-1+1=j-1\\ | ||
\lambda & i-1=j-1\\ | \lambda & i-1=j-1\\ | ||
0 & \text{else} | 0 & \text{else} | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
+ | </math> | ||
+ | בגלל שהנחנו ש b משולשית עליונה. קיבלנו את התנאים עבור רכיבי בלוק ג'ורדן. ההוכחה עבור i,j>n זהה. נוכיח שהאיבר <math>a_{1,n+1}^{2}</math> הוא 0 <math>a_{1,n+1}^{2}=\sum_{k=1}^{n+1}a_{1k}a_{k1}=\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}a_{1k}a_{k1}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}= \frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}=0 | ||
− | + | </math><math>a_{n,1}=0</math> על פי סגירות לכפל של משולשיות | |
− | + | ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח <math>B^{2}=J_{A}=P^{-1}AP</math> נקבל <math>A=\left(PBP^{-1}\right)^{2}</math> ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש | |
− | + | ||
− | ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח B^{2}=J_{A}=P^{-1}AP נקבל A=\left(PBP^{-1}\right)^{2} ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש | + |
גרסה מ־14:37, 5 בינואר 2012
נוכיח שלצורת הג'ורדן של המטריצה ו- יש שורש. בגלל שהיא הפיכה אז אין לה ערך עצמי 0 ואיברי האלכסון יהיו שונים מ 0 . מספיק להראות שלכל בלוק יש שורש כי נניח )סיגמא ישרה( רץ על כל כך ש בצורת ג'ורדן של A אז כי כל בלוק מוכפל בנפרד נראה שלבלוק גורדן לא של 0 יש שורש נבדוק את המשפט עבור מטריצה
נניח באינדוקציה שלבלוק ג'ורדן מסדר n ונניח שלכל i רכיבי האלכסון הi כלומר הרכיבים מהצורה שווים ועוד נניח שהיא משולשית עליונה כל ההנחות מתקיימות עבור n=2,1
נבדוק עבור n+1
יהי נקח מטריצה A כך שהמינורים יש כזאת מטריצה בגלל ההנחה שב-B כל רכיבי האלכסון שווים נשים בתור אם נקח עבור i,j>1 בגלל שהנחנו ש b משולשית עליונה. קיבלנו את התנאים עבור רכיבי בלוק ג'ורדן. ההוכחה עבור i,j>n זהה. נוכיח שהאיבר הוא 0 על פי סגירות לכפל של משולשיות
ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח נקבל ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש