88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'

המבחן של פרופ' זלצמן

שאלה 1

הוכח/הפרך: הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת אם"ם לכל תת סדרה [math]\displaystyle{ a_{n_{k}} }[/math] יש תת סדרה מתכנסת

הפרכה

כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיוון שכל תת סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו ויירשטראס יש לה תת סדרה מתכנסת. (למשל [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math])

שאלה 2

בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

א

[math]\displaystyle{ \sum (-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n} }[/math]

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבל:

[math]\displaystyle{ b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{2^{n^2}}{n!} }[/math]

קל לראות ש[math]\displaystyle{ b_{n+1}/b_n \rightarrow\infty }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ b_n\rightarrow\infty }[/math]. ולכן [math]\displaystyle{ |a_n|\rightarrow\infty }[/math] ולכן הטור מתבדר לחלוטין

ב

[math]\displaystyle{ \sum (-1)^n\frac{sin(\frac{1}{n})}{(\log n)^2} }[/math]

נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות ש

[math]\displaystyle{ \frac{\frac{sin(\frac{1}{n})}{(\log n)^2}}{\frac{1}{n(\log n)^2}}\rightarrow 1 }[/math]

ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת לאפס):

[math]\displaystyle{ \frac{2^n}{2^n(\log{2^n})^2}=\frac{1}{n^2(\log{2})^2} }[/math]

זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.

ג

[math]\displaystyle{ \sum (-1)^n\frac{\pi^n}{\frac{(2n)!}{(n!)^2}} }[/math]

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל [math]\displaystyle{ |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\pi\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}\rightarrow \frac{\pi}{4}\lt 1 }[/math]

ולכן הטור מתכנס בהחלט.

שאלה 4

זהה וסווג את נקודות אי הרציפות

א

[math]\displaystyle{ e^{-\frac{1}{x^3}} }[/math]

נקודת אי הרציפות היא אפס. הגבול משמאל הינו אינסוף ולכן זה מין שני.

ב

[math]\displaystyle{ \frac{sin(x^2)}{|sin(x^2)|} }[/math]

כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת אחד כאשר [math]\displaystyle{ sin(x^2) }[/math] חיובי, ומינוס אחד כאשר הוא שלילי, באפס היא אינה מוגדרת ולכן זו נקודת אי רציפות. לכן סה"כ נקודות אי הרציפות הינן [math]\displaystyle{ \pm \sqrt{\pi k} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math] ואפס. פרט לאפס, הן כולן מין ראשון מכיוון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי הרציפות או משמאלה).

באפס, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי רציפות סליקה.

ג

[math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(x)=|x^2-1| }[/math]

נחלק לתחומים. בתחום [math]\displaystyle{ x\gt 1,x\lt -1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=x^2- }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f'(x)=2x }[/math]

בתחום [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=1-x^2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f'(x)=-2x }[/math].

קל איפוא לראות שבנקודות פלוס מינוס אחד יש אי רציפות ממין ראשון (שם הנגזרת מתקרבת לשתים מצד אחד ומינוס שתים מצד שני).

שאלה 5

אילו מהפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים המסומנים?

א

[math]\displaystyle{ xsin(\frac{1}{x^2}) }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math].

קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0} xsin(\frac{1}{x^2}) =0 }[/math] אפס כפול חסומה

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow \infty} xsin(\frac{1}{x^2}) = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x}\cdot\frac{sin(\frac{1}{x^2})}{\frac{1}{x^2}}=0\cdot 1=0 }[/math]

שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש

ב

[math]\displaystyle{ \frac{1}{1+logx} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]

קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה [math]\displaystyle{ e^{-1} }[/math] שנמצאת בתחום ולכן אינה רציפה במ"ש שם.

ג

[math]\displaystyle{ \sqrt{|cos(\pi x)|} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (-\infty,\infty) }[/math]

זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: [math]\displaystyle{ \sqrt{x},|x|,cos(x),\pi x }[/math] ולכן רציפה במ"ש בתחום.

שאלה 7

חשב את הקירוב הלינארי של [math]\displaystyle{ h=g^{-1}\circ f^{-1} }[/math] ב[math]\displaystyle{ x_0=2 }[/math].

הקירוב הלינארי של [math]\displaystyle{ h(x) }[/math] באיזור הנקודה x_0 הינו [math]\displaystyle{ h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0) }[/math]

במקרה שלנו [math]\displaystyle{ h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=(g^{-1})'(f^{-1}(2))(f^{-1})'(2)=\frac{1}{g'(g^{-1}(f^{-1}(2))} \frac{1}{f'(f^{-1}(2))}= }[/math]

ולכן סה"כ [math]\displaystyle{ h(x)=7-\frac{1}{7}(x-2) }[/math]

המבחן של דר' שמחה הורוביץ

שאלה 3

תהי g פונקציה רציפה במ"ש בקטע (0,1). נניח שקיים אפסילון גדול מאפס כך שמתקיים [math]\displaystyle{ g(x)\gt \epsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in (0,1) }[/math]. הוכח שהפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{1}{g} }[/math] רציפה במ"ש בקטע (0,1).

הוכחה

לפי הנתון, לכל אלפא גדול מאפס קיים דלתא גדול מאפס כך שאם [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |g(x_1)-g(x_2)|\lt \alpha\epsilon^2 }[/math].

לכן, מתקיים ש[math]\displaystyle{ |\frac{1}{g(x_1)}-\frac{1}{g(x_2)}|=|\frac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)g(x_2)}|\lt \frac{\alpha\epsilon^2}{\epsilon^2}=\alpha }[/math]

כפי שרצינו.

שאלה 6

תהי f פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש [math]\displaystyle{ f(0)=f'(0)=...=f^{(4)}(0)=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f^{(5)}(0)\gt 0 }[/math]. עוד נניח שלכל [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f'(x)\neq 0 }[/math]. הוכיחו שלכל [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)\gt 0 }[/math]

הוכחה

מכיוון שהפונקציה ו4 נגזרותיה מתאפסות באפס, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה אפס שווה זהותית לאפס. השארית היא מהצורה [math]\displaystyle{ \frac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt x }[/math].

מכיוון ש[math]\displaystyle{ f^{(5)}(0)\gt 0 }[/math] והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של אפס בה [math]\displaystyle{ f^{(5)}\gt 0 }[/math]. לכן בסביבה ימנית של אפס מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5\gt 0 }[/math].

נותר להוכיח ש[math]\displaystyle{ f(x)\gt 0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ f(x)\leq 0 }[/math] אזי לפי משפט ערך הביניים [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] עבור איזה [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math]. אבל גם [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math] ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מאפס בסתירה.