הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשנ"ט, מועד ב,"
(יצירת דף עם התוכן "1) היה בתרגול (אוהד פתר), אך לא מופיע במערכי התרגול. לכן אעתיק את הפתרון לכאן: א) נניח ש<math>\sum^{...") |
|||
שורה 3: | שורה 3: | ||
א) נניח ש<math>\sum^{\infty } b_n</math> מתכנס. נפעיל את מבחן העיבוי -לכן <math>\sum^{\infty } 2^nb_{2^n}</math> מתכנס, ולפי התנאי ההכרחי זה גורר ש <math>2^nb_{2^n}\rightarrow 0</math>. | א) נניח ש<math>\sum^{\infty } b_n</math> מתכנס. נפעיל את מבחן העיבוי -לכן <math>\sum^{\infty } 2^nb_{2^n}</math> מתכנס, ולפי התנאי ההכרחי זה גורר ש <math>2^nb_{2^n}\rightarrow 0</math>. | ||
− | לכל n קיים k כך ש- <math>2^k\leq n <2^{k+1} </math> (טענה אלגברית, אין צורך להוכיח - אבל נדמה לי שישירות אפשר לקחת <math>k=\lfloor log_2{n} \right \rfloor</math>). | + | לכל n קיים k כך ש- <math>2^k\leq n <2^{k+1} </math> (טענה אלגברית, אין צורך להוכיח - אבל נדמה לי שישירות אפשר לקחת <math> k=\left \lfloor log_2{n} \right \rfloor</math>). |
הסדרה <math>\left \{ b_n \right \}</math> יורדת ולכן <math>x<y\rightarrow b_x>b_y</math>. | הסדרה <math>\left \{ b_n \right \}</math> יורדת ולכן <math>x<y\rightarrow b_x>b_y</math>. | ||
שורה 13: | שורה 13: | ||
נשתמש שוב בתוצאה האלגברית: <math>0\leftarrow \frac{1}{2}2^{k+1}b_{2^{k+1}}=2^kb_{2^{k+1}}\leq nb_{2^{k+1}}\leq nb_n \leq nb_{2^k}\leq 2^{k+1}b_{2^k}\rightarrow 0</math>\ | נשתמש שוב בתוצאה האלגברית: <math>0\leftarrow \frac{1}{2}2^{k+1}b_{2^{k+1}}=2^kb_{2^{k+1}}\leq nb_{2^{k+1}}\leq nb_n \leq nb_{2^k}\leq 2^{k+1}b_{2^k}\rightarrow 0</math>\ | ||
− | ולכן לפי משפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש | + | ולכן לפי משפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש, <math>nb_b\rightarrow 0</math>. |
ב) דוגמה נגדית: <math>b_n=\frac{1}{n\cdot ln(n)}</math>. ממבחן העיבוי הטור <math>\sum b_n</math> מתבדר, אך בכל זאת <math>nb_n=\frac{1}{ ln(n)}\rightarrow 0</math>. | ב) דוגמה נגדית: <math>b_n=\frac{1}{n\cdot ln(n)}</math>. ממבחן העיבוי הטור <math>\sum b_n</math> מתבדר, אך בכל זאת <math>nb_n=\frac{1}{ ln(n)}\rightarrow 0</math>. | ||
שורה 27: | שורה 27: | ||
2)א) נבדוק התכנסות בהחלט: ברור שהטור <math>\sum cos(\frac{1}{n})</math> מתבדר לפי התנאי ההכרחי, שכן <math>\lim_{n \to \infty }cos(\frac{1}{n})=cos0=1</math> שונה מ0. | 2)א) נבדוק התכנסות בהחלט: ברור שהטור <math>\sum cos(\frac{1}{n})</math> מתבדר לפי התנאי ההכרחי, שכן <math>\lim_{n \to \infty }cos(\frac{1}{n})=cos0=1</math> שונה מ0. | ||
− | הטור | + | הטור מתבדר לפי התנאי ההכרחי. (כי <math>\lim_{n \to \infty }a_n=0\leftrightarrow \lim_{n \to \infty }(-1)^na_n=0</math>) |
− | ב) | + | ב) נבדוק התכנסות בהחלט: <math>\sum \begin{pmatrix} |
+ | 2n\\ | ||
+ | n | ||
+ | \end{pmatrix}\frac{1}{2^{3n}}=:\sum a_n</math>. נוכיח התכנסות בהחלט ע"י שימוש במבחן המנה: | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}= \begin{pmatrix} | ||
+ | 2n+2\\ | ||
+ | n+1 | ||
+ | \end{pmatrix}\frac{1}{2^{3n+3}}\cdot \frac{2^{3n}}{\begin{pmatrix} | ||
+ | 2n\\ | ||
+ | n | ||
+ | \end{pmatrix}}=</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=\frac{(2n+2)!}{(n+1)!^2}\cdot \frac{n!^2}{(2n)!\cdot 2^3}=\frac{(2n+2)!}{(n+1)^2}\cdot \frac{1}{8(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{8(n+1)^2}=\frac{2n+1}{4n+4} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נעבור לגבול: <math>\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to \infty }\frac{2n+1}{4n+4}=\frac{1}{2}<1</math>, לכן הטור מתכנס בהחלט, ובפרט מתכנס. |
גרסה מ־07:32, 2 בפברואר 2012
1) היה בתרגול (אוהד פתר), אך לא מופיע במערכי התרגול. לכן אעתיק את הפתרון לכאן:
א) נניח ש מתכנס. נפעיל את מבחן העיבוי -לכן מתכנס, ולפי התנאי ההכרחי זה גורר ש .
לכל n קיים k כך ש- (טענה אלגברית, אין צורך להוכיח - אבל נדמה לי שישירות אפשר לקחת ).
הסדרה יורדת ולכן .
נפעיל נימוק זה על התוצאה שקיבלנו, ונקבל ש .
נכפיל ב (חיובי) את אגפי האי-שוויון:
נשתמש שוב בתוצאה האלגברית: \
ולכן לפי משפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש, .
ב) דוגמה נגדית: . ממבחן העיבוי הטור מתבדר, אך בכל זאת .
ג) ניקח את הסדרה .
הטור מתכנס (טור גיאומטרי עם אפסים שלא משפיעים), אבל בכל זאת אינו מתכנס שכן יש לו תת סדרה ששווה 1 ובפרט שואפת לאחת (וידוע שאם סדרה מתכנסת לגבול אז גם כל תת סדרה שלה מתכנסת אליו).
2)א) נבדוק התכנסות בהחלט: ברור שהטור מתבדר לפי התנאי ההכרחי, שכן שונה מ0.
הטור מתבדר לפי התנאי ההכרחי. (כי )
ב) נבדוק התכנסות בהחלט: . נוכיח התכנסות בהחלט ע"י שימוש במבחן המנה:
נעבור לגבול: , לכן הטור מתכנס בהחלט, ובפרט מתכנס.