הבדלים בין גרסאות בדף "הלמה של קנטור"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==הלמה של קנטור== תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המו...") |
|||
שורה 2: | שורה 2: | ||
==הלמה של קנטור== | ==הלמה של קנטור== | ||
− | תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה <math>I_1\ | + | תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה <math>I_1\supseteq I_2\supseteq ...</math>, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי '''קיימת''' נקודה '''יחידה''' c הנמצאת בכל הקטעים. |
גרסה מ־12:49, 7 בפברואר 2012
הלמה של קנטור
תהי סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה
, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי קיימת נקודה יחידה c הנמצאת בכל הקטעים.
הוכחה
נסמן . לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי
מונוטונית עולה וחסומה על ידי
, ואילו
מונוטונית יורדת וחסומה על ידי
.
לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיוון שאורך הקטעים שואף לאפס, ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה
מקיימת את הדרוש.
נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש . לכן
או
וכיוון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ-c בסתירה. (
או
.)
לכן הנקודה c שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות
בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.