נקודת פיתול: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־23:58, 26 בינואר 2016

הגדרה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ממשית הגזירה בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] .

[math]\displaystyle{ a }[/math] נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של [math]\displaystyle{ a }[/math] הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- [math]\displaystyle{ a }[/math], ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.

מציאת נקודות פיתול

נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן חשודות לפיתול, ויש לסווג אותן.

משפט: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה פעמיים בסביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] כך שמצד אחד של [math]\displaystyle{ a }[/math] הנגזרת השנייה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי [math]\displaystyle{ a }[/math] נקודת פיתול של [math]\displaystyle{ f }[/math].

הוכחה:

לפי טיילור מתקיים:

[math]\displaystyle{ f(x)=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2 }[/math].

ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] הנו

[math]\displaystyle{ f(x)-\Big(f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2 }[/math]

כיון שהנקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] נמצאת בין [math]\displaystyle{ x }[/math] ו- [math]\displaystyle{ ש }[/math], קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן [math]\displaystyle{ a }[/math] הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 ==הגדרה==
-תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a.
+תהי <math>f</math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> .
-a נקראת נקודת פיתול קיימת סביבה שלה כך שבצד אחד של a הפונקציה f גבוהה או שווה למשיק ל-a, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.
+<math>a</math> נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של <math>a</math> הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- <math>a</math>, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.
 ==מציאת נקודות פיתול==
 נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה|לסווג]] אותן.
-'''משפט.'''
+'''משפט:'''
-תהי f גזירה פעמיים בסביבה של a כך שבצד אחד של a בסביבה הנגזרת השנייה אי שלילית ובצד השני אי חיובית, אזי a נקודת פיתול של f.
+תהי <math>f</math> גזירה פעמיים בסביבת <math>a</math> כך שמצד אחד של <math>a</math> הנגזרת השנייה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי <math>a</math> נקודת פיתול של <math>f</math>.
-'''הוכחה.'''
+'''הוכחה:'''
 לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים:
-::<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>.
+:<math>f(x)=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2</math>.
+ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו
-ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה a הינו
+:<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2</math>
-::<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>
+כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>ש</math>, קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
-כיוון שהנקודה c נמצא בין x לבין a, קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי שלילי בצד אחד, ואי חיובי בצד השני ולכן a הינה נקודת פיתול כפי שרצינו.