88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 1

שאלה 1

הוכיחו/הפריכו:

א. אם לפונקציה f יש פונקציה קדומה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ויש לה פונקציה קדומה בקטע [math]\displaystyle{ (b,c] }[/math], אזי יש לה קדומה בקטע [math]\displaystyle{ [a,c] }[/math]

ב. אם F פונקציה קדומה של הפונקציה f בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], ו-G פונקציה קדומה של f בקטע [math]\displaystyle{ (1,2] }[/math] אזי:

[math]\displaystyle{ H(x)=\begin{cases}F(x)&x\in [0,1]\\G(x)&x\in (1,2]\end{cases} }[/math] היא קדומה של f בקטע [math]\displaystyle{ [0,2] }[/math]

שאלה 2

חשבו את הפונקציה [math]\displaystyle{ \int{max(x,x^2)dx} }[/math]

שאלה 3

מצאו נוסחא רקורסיבית עבור [math]\displaystyle{ I_m=\int{x^\alpha ln^m(x)dx} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \alpha\neq 1 }[/math]

שאלה 4

חשבו את האינטגרלים הבאים:

א. [math]\displaystyle{ \int{\frac{x^3+3x^2+5x+7}{x^2+2}dx} }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ \int{(\frac{1-x}{x})^2dx} }[/math]

ג. [math]\displaystyle{ \int{\frac{e^x}{e^x+\sqrt{e^x}}dx} }[/math]

ד. [math]\displaystyle{ \int{\frac{dx}{\sqrt{2x-3}}} }[/math]

ה. [math]\displaystyle{ \int{\frac{dx}{1+e^x}} }[/math]

ו. [math]\displaystyle{ \int{sin(ln(x))dx} }[/math]

ז. [math]\displaystyle{ \int{2xarctan(x)dx} }[/math]

ח. [math]\displaystyle{ \int{sin^6(x)\cdot cos^2(x)dx} }[/math]

ט. [math]\displaystyle{ \int{\frac{dx}{sin(x)}} }[/math] רמז: הצבה אוניברסאלית

י. [math]\displaystyle{ \int{\frac{dx}{\sqrt{3}sin(x)+cosx}} }[/math] רמז: [math]\displaystyle{ cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2} }[/math]