88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 5/פתרון

1.

ברמת העיקרון חלקים מהשאלה הופיעו בתרגיל 10 משנה שעברה.

א

מופיע בתרגיל הבית

ב

קל להבחין כי לכל x בתחום מתקיים: [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}sin(e^{n}x)=0 }[/math]. (חסומה כפול 0)

נראה שההתכנסות הינה במ"ש באמצעות מבחן הlimsup:

[math]\displaystyle{ 0\leq \lim_{n \to \infty} \text{sup}|\frac{sin(e^{n}x)}{n}-0|\leq \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0 }[/math]

ולכן סדרת הפונקציות מתכנסת במ"ש ל0.

ג

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}nsin(\frac{x}{n})=\lim_{n \to \infty}\frac{sin(\frac{x}{n})}{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}x\frac{sin(\frac{x}{n})}{\frac{x}{n}}=x }[/math]

לכן סדרת הפונקציות מתכנסת ל[math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math].

נראה שההתכנסות אינה במ"ש. נניח בשלילה ששהתכנסות במ"ש, אז מכיוון שמדובר בסדרה של פונקציות אינטגרביליות אמור להתקיים:

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{x}nsin(\frac{t}{n})dt \to \int_{0}^{x}tdt }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math], ואפילו במ"ש.

אולם מתקיים,

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{x}nsin(\frac{t}{n})dt=n^{2}cos(\frac{x}{n})-n^{2} \to 0\neq \int_{0}^{x}tdt=\frac{x^{2}}{2} }[/math]

ולכן מתקבלת סתירה להנחה שההתכנסות הינה במ"ש.

ד

מופיע בתרגיל הבית.

דרך אלטרנטיבית:

ראשית, נבדוק את ההתכנסות הנקודתית: [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}x \cdot arctan(nx)=\frac{\pi}{2} x }[/math].

על מנת להוכיח את ההתכנסות במידה שווה, נפצל את הבדיקה לשני קטעים: [math]\displaystyle{ [1, \infty),[0,1] }[/math].

בקטע הסגור, נוכל להפעיל את משפט דיני (בדקו שכל התנאים אכן מתקיימים!).

בקטע הפתוח שנותר, נביט בסדרת הנגזרות ונוכיח שהיא מתכנסת במ"ש.

[math]\displaystyle{ f'_{n}(x)=arctan(nx)+\frac{nx}{1+(nx)^{2}} }[/math], מספיק נשראה שכל אחד מהמחוברים מתכנס במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ [1, \infty) }[/math].

מכאן, מראים שהפוקנציות מונוטוניות יורדות בקטע ואז משתמשים במבחן הlimsup.

מתקיימים כל התנאים כדי שההתכנסות במ"ש הזו, תגרור את ההתכנסות במ"ש של הסדרה המקורית.