לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

ולכתוב מתחתיה את השאלה שלכם.

שאלות

שאלה לדוגמא

מה זה Span?

תשובה

אוסף כל הצירופים הלינאריים --ארז שיינר 20:07, 22 באוקטובר 2009 (UTC)

הבנתי, תודה.

בשמחה

יותר קונסטרוקטיבי לחשוב על זה כ"המרחב הנפרש", התת-מרחב הקטן ביותר שמכיל את הקבוצה הנתונה.

תרגיל 2.14

איך פותרים את תרגיל 2.14?

תשובה

לפי ההדרכה. אפשר להניח שתרגיל 1.10 הוא נכון. תזכורת: יש n שורשי יחידה מסדר n. --ארז שיינר 12:13, 29 באוקטובר 2009 (UTC)

בנוסף, אפשר להעזר בתרגיל 7.4 בעמוד 76 --ארז שיינר 13:18, 29 באוקטובר 2009 (UTC)

שאלה נוספת בנוגע לאותו תרגיל:

בנוגע להגדרה שניתנה על p^0, p, p^2, ... , p^n-1

• האם הכוונה היא ש-P הוא הערך העצמי של הוקטור?
• בנוסף, איך אני יכול להסיק שכל ערכי ה-P שונים זה מזה? (נראה הכרחי, אחרת הוקטורים לא בת"ל)

תשובה

שים לב שp הינו שורש יחידה מסדר n. כפי שציינתי קודם לכן, יש n שורשי יחידה שונים מסדר n. הערך העצמי של הוקטור אינו p בהכרח ואינו רלוונטי לשאלה 2.14. --ארז שיינר 16:23, 29 באוקטובר 2009 (UTC)

הבנתי, תודה

אבל מדובר בשדה F כלשהו. כיצד ניתן להסביר שלמשוואה x^n-1=0 מעל שדה F יש בדיוק n פתרונות?

יפה מאד! זו הערה נכונה, לא שמתי לב לכך. התייחסו למטריצה כמרוכבת, ולא כמעל שדה כלשהו. --ארז שיינר 18:09, 29 באוקטובר 2009 (UTC)

עוד שאלה, ניתן להניח שתרגיל 7.4 בעמוד 76 נכון?

כן. צריך להסביר היטב אבל

• תודה רבה על העזרה - אבל נותרתי עם שאלה אחת... למה הכוונה "שורשי היחידה", אם לא לערכים של למדא שיאפסו את הפולינום האופייני?

שורשי יחידה לא קשורים לפולינום אופיינים או כלל למטריצות. שורשי יחידה מסדר n הם מספרים שאם תעלה אותם בחזקת n תקבל 1. במילים אחרות הם השורשים של הפולינום [math]\displaystyle{ z^n=1 }[/math]. --ארז שיינר 09:53, 31 באוקטובר 2009 (UTC)

ארז האם תוכל להסביר את תרגיל 2.14 ואת כל השלבים שצריך לעשות ואיך לעשות אותם כי דיברתי עם כמה אנשים בתכנית ואין להם מושג איך לעשות את זה ומה זה הדטרמיננטה של מטריצ ונדרמונדה ומה זה מטריצת ונדרמונדה ואיך מוכיחים שוקטורים עצמיים הם בלתי תלויים זאת אומרת איך מגיעים לזה ואם יש לי n ערכים עצמיים זה אומר שיש לי n וקטורים עצמיים ? חשוב שתענה על כל השאלות בשביל שנוכל להבין .. תודה !!

מטרת הפורום היא לכוון ולא שאני אפתור בשבילכם. מבין התרגילים 7.4, 1.10 וההדרכה של 2.14 עצמו אני לא רואה סיבה שלא תוכלו לפתור.

כמובן שלא תראה סיבה כי אתה מתרגל אתה עברת את זה בהצטיינות אנחנו לומדים וצריכים את המידע הזה בשביל שגם אנחנו נכול להבין ולעבור בהצטיינות כמוך וזה השלב בו אנחנו שואלים שאלות ומצפים לתשובות ( זה לא מבחן ) כל עוד יש לנו זמן ומותר לנו לשאול לדעתי אתה צריך לעשות הכל בשביל שאנחנו נבין ככה שאנחנו מצפים לתשובה בשביל שנוכל לדעת איך להמשיך .. זו זכותינו אנחנו כאן בשביל ללמוד ולהצליח

אתם מקבלים פתרונות לתרגילים. בוודאי לא אפרסם פתרונות לפני הגשת התרגיל.

אל תפרסם .. רק תסביר את הרעיון ואת החשיבה שעומדת מאוריי זה כדי שנוכל להיכנס לראש. מה זה הדטרמיננטה של מטריצה ונדרמונדה ומה זה בכלל המטריצה הזאת לא למדנו את זה

מה שחשוב לדעת לגבי המטריצה הוא שזו הדטרמיננטה שלה: [math]\displaystyle{ \det(A) = \prod_{1\le i\lt j\le n} (a_j-a_i). }[/math] (למטריצה כפי שהיא רשומה בתרגיל 7.4).

תרגיל 3.17

כיצד מוצאים מטריצה הופכית בעזרת פולינום אופייני? (משפט קיילי המילטון רק אומר שהמטריצה מאפסת את הפולינום האופייני שלה)

אני אנסה להראות דרך

[math]\displaystyle{ 0=p(A)=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+(-1)^n\det(A)I_n }[/math]

שזה כמו

[math]\displaystyle{ -(-1)^n\det(A)I_n = A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots+c_{1}I_n) }[/math],

נכפיל בהופכית של A מצד שמאל

[math]\displaystyle{ A^{-1}=\frac{(-1)^{n-1}}{\det(A)}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots+c_{1}I_n) }[/math].

מקווה שעזרתי, סער

פתרון יפה, אבל איך יודעים שA הפיכה?

אם יש מטריצה הופכית, אז המטריצה הפיכה. הוא הראה שיש מטריצה שאם תכפול בה בA תקבל את מטריצת היחידה. זה אומר ישירות שA הפיכה. --ארז שיינר 12:07, 30 באוקטובר 2009 (UTC)

למי ששאל איך יודעים ש-A הפיכה - תראה שהדטרמיננטה שלה שונה מאפס :) זה אחד הדברים היותר פשוטים בתרגילים עם נתונים "מספריים". אגב, בפולינום האופייני : הדטרמיננטה תהיה שווה למקדם של x^0 (של החזקה הכי קטנה)

תרגיל 4.3

אני לא כל כך מבין איך למצוא את המטריצה המשולשית העליונה הדומה - מישהו יכול לעזור?

תשובה

בוא ננסה ביחד, ותסביר באיזה שלב אתה לא מצליח. נניח A מטריצה ריבועית, רוצים לשלש אותה:

• מוצאים את הע"ע של המטריצה
• לוקחים ערך עצמי [math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math] עם ריבוי אלגברי מקסימלי (במילים פשוטות, שורש של הפולינום האופייני שהחזקה שלו בפולינום היא מקסימלית). למשל, 2 אם הפולינום האופייני היה [math]\displaystyle{ f_A=(\lambda-2)^2(\lambda-1) }[/math].
• לוקחים בסיס למרחב העצמי של [math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math], כלומר הוקטורים העצמיים ש[math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math] הוא הע"ע שלהם. נניח הבסיס הוא [math]\displaystyle{ v_1,v_2,...,v_k }[/math]. משלימים את הבסיס הזה לבסיס למרחב [math]\displaystyle{ v_1,v_2,...,v_n }[/math].
• יוצרים מטריצה M שעמודותיה הן הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,v_2,...,v_n }[/math].
• [math]\displaystyle{ M^{-1}AM }[/math] היא מטריצה שיש לה אפסים מתחת לאלכסון הראשי בk העמודות הראשונות.
• לוקחים את המטריצה ללא k השורות והעמודות הראשונות, ומקבלים מטריצה מסדר n-k על n-k. נקרא לה [math]\displaystyle{ A_{n-k} }[/math]
• מוצאים מטריצה [math]\displaystyle{ M_{n-k} }[/math] באותו אופן (מוצאים בסיס למרחב עצמי של [math]\displaystyle{ A_{n-k} }[/math], משלימים לבסיס של המרחב) , ומשלימים אותה למטריצה מגודל n על n באופן הבא [math]\displaystyle{ M_1=\begin{bmatrix}I_{k} & 0 \\ 0 & M_{n-k}\end{bmatrix} }[/math]
• מסתכלים על [math]\displaystyle{ M_1^{-1}M^{-1}AMM_1 }[/math]. למטריצה הזו יש אפסים מתחת לאלכסון הראשי בk+m העמודות הראשונות, כאשר m הוא המימד של המרחב העצמי בשלב השני.
• ממשיכים בתהליך עד שמקבלים מטריצה משולשית.

--ארז שיינר 15:32, 30 באוקטובר 2009 (UTC)

אפשר לקחת בהתחלה את כל הוקטורים העצמיים ולהשלים אותם לבסיס, במקום רק את הוקטורים העצמיים של ערך עצמי אחד?

ואז מה השלב הבא? זה לא ישלש את המטריצה בהכרח. מותר לעשות את זה, כי זה דומה ללקחת את הו"ע העצמיים של ע"ע אחד, ואז להשלים את הבסיס עם וקטורים עצמיים אחרים. אבל אני לא יודע אם זה יחסוך שלבים. שים לב שבאלגוריתם, כל פעם הוקטורים העצמיים הם ממרחב וקטורי ממימד קטן יותר. --ארז שיינר 18:43, 30 באוקטובר 2009 (UTC)

האמת שחשבתי על זה, ויכול להיות שזה כן מקצר את האלגוריתם. מוזמנים לנסות --ארז שיינר 18:53, 30 באוקטובר 2009 (UTC)

• יש לי הסבר למה לפעמים עדיף לקחת רק ו"ע של אחד מהערכים : כי אז תצטרכו להשלים לו"ע כרצונכם, כלומר תוכלו להשלים גם לפי ו"ע קלים יחסית שיקלו על הכפל-מטריצות בהמשך..

יש לי שאלה

יש לי נקע בזרת ואני לא יכול לכתוב, השאלה היא האם אני יכול לבקש ממישהו בקורס (שאני מכיר) לכתוב לי את התשובות לשיעורים ואני יקריא לו? זה מותר? אם לא מה לעשות? אני לא רוצה שירד לי ציון... אשמח לתשובה בהקדם

אני לא כל כך מבין את מהות השאלה. ככלל אנחנו לא בודקים את הכתב של התרגיל. אם התרגיל הוא שלך ומכיל תשובות שלך זה בסדר. אם מישהו אחר עשה בשבילך את התרגיל זה לא בסדר. פשוט :) --ארז שיינר 20:58, 30 באוקטובר 2009 (UTC)

לגבי מטריצות הפיכות

אם כופלים מטריצה הפיכה במטריצה לא הפיכה, התוצאה תהיה מטריצה לא הפיכה?

תשובה

נכון. קל לראות את זה מחוקי דטרמיננטות

[math]\displaystyle{ A }[/math]הפיכה [math]\displaystyle{ |A|\neq 0 \iff }[/math]

נניח [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה ו[math]\displaystyle{ B }[/math] לא הפיכה, לכן [math]\displaystyle{ |B|=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |AB|=|A||B|=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ AB }[/math] לא הפיכה

איך מוכיחים שמטריצה אינה לכסינה?

איך מוכיחים שמטריצה אינה לכסינה? תודה.

תשובה

אם אין בסיס למרחב המכיל וקטורים עצמיים של המטריצה בלבד. כלומר, מוצאים את הוקטורים העצמיים של המטריצה ומראים שהם לא פורשים את כל המרחב.

או אם מראים שעבור ע"ע כלשהו הריבוי הגיאומטרי שונה מהריבוי האלגברי, לא?

נכון, זה גם מספיק.

תרגיל 4.4

לא הבנתי מה הרעיון בסעיף ג מה זאת אומרת לנסח טענות דומות ולהוכיח אותם???

תשובה

נסח טענות דומות, כלומר מצא יחס בין הערכים העצמיים והדטרמיננטה בתנאים דומים לסעיפים א' וב'. קח דוגמא פשוטה (למשל מטריצה ניתנת ללכסון) ותראה מה הקשר בין הדטרמיננטה לערכים העצמיים.

לא ברור לאיזה A צריך לנסח את השאלה..A ריבועית? לכסינה? ניתנת לשילוש?

תרגיל 5.14

היי ארז, מה הכוונה ב"מינימום צעדים"? עלי למצוא את כל האפשרויות ולהציב את A בכל אחת מהן (אף על פי שזה ארוך), נכון?

תשובה

העניין הוא שיש מעט אפשרויות, ואם מתחילים מלמטה זה מעט צעדים. במיוחד יחסית לשיטה של מערכת המשוואות.

שאלה

יש אפשרות בבקשה לפרסם את הפתרון לתרגיל 2.5ג'? (משיעורי הבית הראשונים), כי פרסמתם את הפיתרון של א' וב' אבל לא של ג'.. (בעמוד 84)

תשובה

אני אפרסם פתרונות להכל

שאלה לארז - בנוגע לאינפי

ארז שלום! באתר של התרגיל שלנו באינפי אין איפה לשאול שאלות, ודווקא בתרגילים באינפי יש אי הבנות. האם אפשר לפתוח דף נוסף באתר זה שישמש לדיון על בעיות באינפי (בין מי שלומד בקורס, רק שנוכל להיעזר אחד בשני)? תודה רבה!

תשובה

בוודאי, אני גם אשמח שיהיה שימוש באתר, המטרה שלו היא לשמש ליותר מקורס אחד. אם אתם לא מסתדרים בלפתוח לבד, תגידו לי (או אם תרצו קישור בעמוד הראשי. --ארז שיינר 20:29, 5 בנובמבר 2009 (UTC)

לגבי שאלה 5.21 ב' ג' ו-5.22 א'

ארז שלום, את שאלה 5.21 אני מנסה כבר הרבה זמן לנסות להוכיח או להפריך ואני נתקע, אני פשוט לא יודע מה לעשות שם.. בשאלה 5.22 אני לא מבין איך למצוא את הפולינום המינימלי - משוואות לינאריות לא עוזרות שם, וגם אין דרך למצוא לזה פולינום אופייני. עשיתי לפולינום המינימלי נוסחא של פולינום כללי, הצבתי את A והשוותי ל-0, החלפתי את כל החזקות של A, ב-A עצמה ומשם אני נתקע. כמו כן לא הבנתי למה בסעיף ד' יש אפשרויות ל-tr(A). אשמח אם תענה במהרה, תודה