הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11"
מ |
(←משפט 1) |
||
שורה 29: | שורה 29: | ||
# נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{|a_n|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>|x-x_0|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ |a_n|\cdot|x-x_0|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left|\frac rP\right|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ |x-x_0|\le r\}</math>. {{משל}} | # נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{|a_n|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>|x-x_0|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ |a_n|\cdot|x-x_0|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left|\frac rP\right|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ |x-x_0|\le r\}</math>. {{משל}} | ||
− | '''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע של <math>\mathbb R</math> | + | '''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע ׳׳׳סופי׳׳׳ של <math>\mathbb R</math>. כאשר <math>L=\infty</math> מתקיים <math>R=0</math> ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר <math>x=x_0</math>. |
'''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>|x-x_0|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד. | '''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>|x-x_0|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד. |
גרסה מ־05:25, 1 ביוני 2015
את משפט 10 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־17.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.
התכנסות במ"ש של טורים (המשך)
דוגמה
נבנה פונקציה S רציפה ב- שאינה גזירה באף נקודה. תחילה נגדיר
בקטע
עם המשך מחזורי בכל
:
לכן וכן אם
אז
, ואחרת הנגזרת לא קיימת. כמו כן נגדיר
ואז
וכן אם
אז
. נמשיך להגדיר
ולכן
ואם
אז
. לבסוף, נגדיר
אזי S רציפה ב-
(כי כל
רציפה והטור מתכנס במ"ש עפ"י מבחן ה-M של וירשטרס:
ו-
מתכנס).
הוכחה שגויה לכך שהפונקציה לא גזירה: שמתבדר (כי
), ולכן הפונקציה אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה זו אינה נכונה כי היא מתבססת על הטענה שאומרת שאם
במ"ש ואם
לא קיים אז f לא גזירה, טענה שאפשר לסתור בעזרת
שהגדרנו קודם:
ולכן הפונקציה הגבולית (שהיא 0) גזירה, אבל
שמתבדר בין
ל-
, עם ערכים לא מוגדרים באמצע.
הוכחה נכונה: נאמר ששתי נקודות שונות מקיימות את התכונה
הן נמצאות בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של
(למשל הקטע
, כי הוא נמצא בין נקודות הקיצון שב-0 וב-1, או הקטע
וכו'). אם
מקיימות זאת אזי
. נמשיך כך ונאמר ששתי נקודות
מקיימות תכונה
אם"ם הן בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של
. במקרה כזה
. נשים לב שאם הנקודות
מקיימות
אז הן מקיימות
, ובהכללה
. כעת יהי
נתון ונוכיח כי
לא קיים. מספיק להוכיח שעבור סדרה
כלשהי כך ש-
לא קיים הגבול
. נבחר
אם
מקיימות
, ו-
אחרת. נשים לב שבכל מקרה הנקודות
מקיימות
כי אם
לא מקיימות
אזי יש בין שתיהן נקודת קיצון של
. ההפרש בין שיעורי ה-x של שתי נקודות קיצון סמוכות ב-
הוא
ולכן
כן מקיימות
. כמו כן ברור כי
. מתקיים
. כיוון ש-
מקיימות
מתקיימת לכל
הטענה
. עבור
המחזור של
הוא
. אם
אז
הוא מספר שלם של מחזורים, ולכן
, ומכאן ש-
. לפיכך לכל m נקבל
. כאשר
הגבול לא קיים ולכן S לא גזירה ב-x, והטענה נכונה לכל x.
טורי חזקות
הגדרה: טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה עבור
לכל n. כאשר
נקבל טור הנדסי.
דוגמה: הוא טור חזקות הנדסי. אם נציב
נקבל
, ולכן הטור מתכנס אם"ם
, וסכומו הוא
.
משפט 1
יהי טור חזקות כלשהו ונגדיר
(R נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור). אזי:
- אם x מקיים
אז הטור מתכנס בהחלט.
- אם x מקיים
אז הטור מתבדר.
- אם
אז הטור מתכנס במ"ש בקטע
.
הוכחה
- יהי x כך ש-
ונבחר P כך ש-
. מכאן נובע ש-
ולפיכך קיים
כך ש-
. מכאן נובע כי
ולכן
. מכאן שהטור
הוא טור הנדסי שמתכנס, וממבחן ההשוואה
מתכנס, כלומר הטור המקורי מתכנס בהחלט בנקודה x.
- נתון
ונרשום
. לפי הנתון
ולכן יש אינסוף אינדקסים n כך ש-
. עבור אותם n-ים מתקיים
ולכן
. לפיכך
מתבדר (כי האיבר הכללי
לא שואף ל-0).
- נבחר P כך ש-
. כמו בסעיף 1, קיים
כך שלכל
מתקיים
ולכן אם
אז
. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור
וכיוון שסכום החסמים
הוא טור הנדסי מתכנס (כי
) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-
מתכנס במ"ש ב-
.
הערה: באופן כללי, עבור ,
. כאשר
מתקיים
, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל
, ובמ"ש על כל תת קטע ׳׳׳סופי׳׳׳ של
. כאשר
מתקיים
ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר
.
הערה: לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים . מקרה זה יש לבדוק בנפרד.