הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2"
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←2) |
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) |
||
שורה 56: | שורה 56: | ||
*<math>Im(z)= \frac{z-\overline{z}}{2}</math> | *<math>Im(z)= \frac{z-\overline{z}}{2}</math> | ||
<math>\frac{z-\overline{z}}{2} = \frac{x+y \cdot i - (x - y \cdot i)}{2} = \frac{2y}{2}=y=Im(z)</math> | <math>\frac{z-\overline{z}}{2} = \frac{x+y \cdot i - (x - y \cdot i)}{2} = \frac{2y}{2}=y=Im(z)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==3== | ||
+ | מצא את הצורה הפולרית והקרטזית של המספרים המרוכבים הבאים: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>1+i</math> | ||
+ | <math>r=sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 2}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>(1-i)^{-1}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\sqrt{2}cis(\frac{\pi}{4})(2-3i)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>cis(\frac{\pi}{2})</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>2cis(2012\cdot \frac{\pi}{2})</math> |
גרסה מ־02:15, 13 באוגוסט 2012
1
מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:
לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא:
מתקיים שוויון כאשר . עד הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של . לכן אי השוויון מתקיים עבור
נסמן ונבדוק מתי . יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור . מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור
נפתח סוגריים ונקבל: . ניעזר בזהות ונגיע לאי השוויון: . מכאן נעביר אגפים ונקבל והפתרון שלו הוא או . זה מתקיים עבור:
נציב ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור . לכן .
אם : נקבל וזה לא יתכן.
: נקבל וזה גם לא יתכן.
עבור : אי השוויון הוא וזה מתקיים לכל
2
הוכח:
נסמן . נחשב את אגף שמאל:
נחשב את אגף ימין:
בשני המקרים קיבלנו את אותו ביטוי לכן מתקיים שוויון.
אגף ימין:
שוב קיבלנו בשני המקרים את אותו ביטוי ולכן מתקיים השוויון
3
מצא את הצורה הפולרית והקרטזית של המספרים המרוכבים הבאים: