|
|
| שורה 2: |
שורה 2: |
|
| |
|
|
| |
|
| נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות <math>A</math>).
| | הוכחת למת ההחלפה של שטייניץ. |
|
| |
|
| ודרגת השורות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות <math>A</math>).
| | ניסוח: יהי <math>V</math> מרחב וקטורי. ותהינה <math>B</math> קבוצה בת"ל ו <math>C</math> קבוצה פורשת |
| | | אזי לכל <math>b \in B</math> קיים <math>c\in C</math> כך ש <math>(B \backslash \{b\})\cup \{c\}</math> היא גם קבוצה בת"ל. |
| | |
| | |
| הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:
| |
| | |
| | |
| תהי <math>A \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא <math>k</math>.
| |
| | |
| כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>.
| |
| | |
| ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.
| |
| | |
| שלב א': למצוא מטריצות <math>D,R</math> כך שמספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>. ומתקיים <math>A=DR</math>.
| |
| | |
| | |
| יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>.
| |
| | |
| נסמן ב <math>D</math> את המטריצה שעמודותיה הם איברי <math>B</math>.
| |
| | |
| כלומר
| |
| | |
| <math>D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} </math>
| |
| | |
| | |
| נשים לב שבגלל ש <math>B</math> בסיס ל <math>C(A)</math> הוא פורש כל עמודה של <math>A</math>.
| |
| | |
| כלומר לכל עמודה <math>C_i(A)</math> מתקיים ש <math>C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}</math>.
| |
| | |
| נסמן <math>[C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}</math>
| |
| | |
| כלומר <math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k</math>
| |
| | |
| כלומר <math> C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} </math>
| |
| | |
| נגדיר מטריצה <math>R \in \mathbb{F}^{k \times n}</math> לפי
| |
| <math>R_{i,j}=\alpha_{i,j}</math>.
| |
| | |
| נשים לב ש הכפל <math>DR</math> מוגדר היות ומספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>.
| |
| | |
| נקבל ש<math>C_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A)</math>
| |
| | |
| כלומר <math>DR=A</math>.
| |
| | |
| סוף שלב א'.
| |
| | |
| שלב ב': לראות ש <math>A=DR</math> אומר שדרגת השורות של <math>A</math> קטנה מדרגת השורות של <math>R</math> ולהסיק מסקנות.
| |
| | |
| | |
| לפי כפל שורה שורה
| |
| <math>R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R)</math>
| |
| | |
| כלומר
| |
| | |
| <math>R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\}</math>
| |
| | |
| לכן <math>R(A) \subseteq R(R)</math>
| |
| | |
| ולכן <math>dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A)</math>
| |
| | |
| (מרחב השורות של המטריצה <math>R</math> לא יכול להיות יותר מ <math>k</math> כי יש ב <math>R</math> רק <math>k</math> שורות.)
| |
| | |
| זה מוכיח שלכל מטריצה <math>A</math> מתקיים ש <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math>.
| |
| | |
| סוף שלב ב'
| |
| | |
| שלב ג': סיום.
| |
| | |
| | |
| נשים לב ש <math>dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A)</math>
| |
| | |
| בסה"כ קיבלנו <math>dimC(A) \leq dimR(A)</math> וגם <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math> ולכן
| |
| | |
| <math>dimR(A)=dimC(A)</math> מש"ל.
| |
