|
|
| שורה 1: |
שורה 1: |
| *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]] | | *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]] |
|
| |
|
| |
| הוכחה לטענה ש <math>A</math> הפיכה <math>\Leftrightarrow</math> ניתן להציג את <math>A</math> כמכפלת מטריצות אלמנטריות.
| |
|
| |
| שלב א':
| |
|
| |
| כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים
| |
|
| |
| <math>(\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j}</math>
| |
|
| |
| <math>(\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i}</math>
| |
|
| |
| <math>(\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j}</math>
| |
|
| |
|
| |
| שלב ב': הוכחת <math>\Rightarrow</math>.
| |
|
| |
| אם <math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה.
| |
|
| |
| שלב ג': מטריצה <math>C</math> בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה.
| |
| כי לכל מטריצה <math>B</math> שהיא (נניח ש <math>i</math> היא שורת האפסים)
| |
|
| |
| מתקיים לפי כפל שורה שורה <math>R_i(AB)=R_i(A)B=0 \neq R_i(I)</math>.
| |
|
| |
| שלב ד': נתחיל להוכיח את <math>\Leftarrow</math>.
| |
|
| |
| אם <math>A</math> הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>.
| |
|
| |
| הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של <math>A</math> ב <math>P</math>.
| |
|
| |
| קיימות מטריצות אלמנטריות <math>E_1,\ldots ,E_k</math> כך ש
| |
|
| |
| <math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P</math>.
| |
|
| |
| <math>P</math> הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות.
| |
|
| |
| אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא <math>I</math> או שיש בה שורת אפסים.
| |
|
| |
| לכן <math>P=I</math>. (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה).
| |
|
| |
| שלב ה: סיום
| |
|
| |
| נותר רק לכפול משמאל את
| |
|
| |
| <math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I</math>.
| |
|
| |
| ב <math>(E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} </math>.
| |
|
| |
| ולקבל
| |
|
| |
| <math>A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1}</math>
| |
|
| |
| היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית.
| |
|
| |
| קיבלנו ש<math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:44, 27 באוגוסט 2012 (IDT)
| |
