אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון מועד א'

חלק א'

שאלה 1

ב. הפרכה:

נניח כי [math]\displaystyle{ T }[/math] באמת חד חד ערכית.

זה אומר כי [math]\displaystyle{ Ker(T)=\{0\} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ dimKer(T)=0 }[/math].

לפי משפט הדרגה [math]\displaystyle{ dimKer(T)+dimIm(T)=dimV=n }[/math]

היות ו [math]\displaystyle{ dimKer(T)=0 }[/math].

נקבל כי [math]\displaystyle{ dimIm(T)=n }[/math].

מצד שני, [math]\displaystyle{ Im(T) \subseteq W }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ dimIm(T) \leq dim W =m }[/math].

קיבלנו ש [math]\displaystyle{ n=dimIm(T)\leq m }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ n \leq m }[/math] בסתירה לנתון ש [math]\displaystyle{ n \gt m }[/math].

סתירה.

ולכן [math]\displaystyle{ T }[/math] לא יכולה להיות חד חד ערכית.

שאלה 2

ראשית נוכיח כי [math]\displaystyle{ B }[/math] בת"ל.

נייצג את איברי [math]\displaystyle{ B }[/math] בתור וקטורי קוארדינטות ב [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^4 }[/math] לפי הבסיס הסטנדרטי ונקבל

[math]\displaystyle{ (1,1,1,1),(3,4,0,5) }[/math].

נשים וקטורים אלו בשורות מטריצה ונדרג אותה כדי לוודא שהם בלתי תלויים.

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 0 & 5 \end{bmatrix} \overset{R_2=R_2-3R_1} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix} }[/math]

הגענו לצורה מדורגת בלי שקיבלנו שורת אפסים ולכן רשימת הוקטורים שהתחלנו איתה בת"ל.

(הערה: מי שהראה שכל צירוף [math]\displaystyle{ \alpha (1+x+x^2+x^3) + \beta(3+4x+5x^3)=0 }[/math] מחייב ש [math]\displaystyle{ \alpha=\beta=0 }[/math]. זאת גם תשובה טובה. וגם מי שהראה שאין [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \alpha(1+x+x^2+x^3)=3+4x+5x^3 }[/math] זו גם תשובה נכונה).

השלמת [math]\displaystyle{ B }[/math] לבסיס:

הואיל ובמטריצה המדורגת שהגענו אליה יש איברים מובילים בעמודות [math]\displaystyle{ 1,2 }[/math] למדנו שאפשר להוסיף את [math]\displaystyle{ (0,0,1,0),(0,0,0,1) }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ e_i }[/math] עבור כל עמודה [math]\displaystyle{ i }[/math] של משתנה חופשי.

ולכן קיבלנו בסיס [math]\displaystyle{ 1+x+x^2+x^3,3+4x+5x^2,x^2,x^3 }[/math].

שימו לב שצריך לנמק למה מוסיפים את [math]\displaystyle{ x^2,x^3 }[/math] - מי שסתם כתב שמוסיפים אותם בלי הסבר איבד נקודות.

הסברים מקובלים:

יש איברים מובילים בעמודות [math]\displaystyle{ 1,2 }[/math].

יש משתנים חופשיים בעמודות [math]\displaystyle{ 3,4 }[/math]

אם מוסיפים את [math]\displaystyle{ e_3,e_4 }[/math] המטריצה נשארת מדורגת.

אם מוסיפים את [math]\displaystyle{ e_3,e_4 }[/math] שורות המטריצה עדיין בלתי תלויות לינארית.

או משהו בסגנון.

יש סטודנטים שהמציאו שני וקטורים כלשהם (לאו דווקא [math]\displaystyle{ x^2,x^3 }[/math]) והראו שהקבוצה הנוצרת היא בת"ל/ פורשת ולכן לפי השלישי חינם היא בסיס. יש סטודנטים שהמציאו שני וקטורים והוכיחו שהקבוצה הנוצרת בת"ל+ פורשת (שזה מיותר כי אפשר להשתמש בשלישי חינם) גם התשובות האלה התקבלו, אמנם זה מייגע, אבל זה נכון.

יש סטודנטים שהשתמשו בעוד כל מיני דרכים מקוריות, חלק מהן היו נכונות.