הבדלים בין גרסאות בדף "פולינום מינימלי"
מתוך Math-Wiki
(←תרגילים) |
(←תכונות) |
||
שורה 11: | שורה 11: | ||
*לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה. | *לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה. | ||
+ | **מסקנה: על מנת לחשב את הפולינום האופייני, נמצא את הפולינום המכיל את הגורמים האי פריקים של הפולינום האופייני, בחזקות הכי נמוכות, המאפס את המטריצה | ||
==תרגילים== | ==תרגילים== |
גרסה מ־07:36, 13 בנובמבר 2012
הגדרה
תהי A מטריצה ריבועית. אזי הפולינום המינימלי של A, מסומן הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים
הערה: פולינום מתוקן הינו פולינום מהצורה , כלומר המקדם של המונום בעל החזקה הגבוהה ביותר הינו אחד.
תכונות
- לכל פולינום f כך ש
מתקיים
. בפרט ממשפט קיילי-המילטון נובע כי הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני
- לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.
- מסקנה: על מנת לחשב את הפולינום האופייני, נמצא את הפולינום המכיל את הגורמים האי פריקים של הפולינום האופייני, בחזקות הכי נמוכות, המאפס את המטריצה
תרגילים
א
הוכח כי למטריצות דומות אותו פולינום מינימלי
הוכחה.
ראשית נשים לב לעובדה הבאה- יהי פולינום f ותהיינה מטריצות דומות A,B אזי גם המטריצות דומות.
אכן, נסמן ונסמן
. לכן:
מסקנה: נניח A,B מטריצות דומות, אזי לכל פולינום f מתקיים אם"ם
.
אכן, המטריצה היחידה הדומה למטריצת האפס הינה מטריצת האפס עצמה. כיוון ש דומות, המסקנה נובעת.
בסה"כ, כיוון שהפולינומים המאפסים מטריצות דומות הם אותם פולינומים, בפרט המינימלי המתוקן מבינהם הוא אותו אחד.