פולינום מינימלי

הגדרה

תהי A מטריצה ריבועית. אזי הפולינום המינימלי של A, מסומן [math]\displaystyle{ m_A(x) }[/math] הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים

[math]\displaystyle{ m_A(A)=0 }[/math]

הערה: פולינום מתוקן הינו פולינום מהצורה [math]\displaystyle{ x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 }[/math], כלומר המקדם של המונום בעל החזקה הגבוהה ביותר הינו אחד.

תכונות

• לכל פולינום f כך ש [math]\displaystyle{ f(A)=0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ m_A(x)|f(x) }[/math]. בפרט ממשפט קיילי-המילטון נובע כי הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני

• לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.
  • מסקנה: על מנת לחשב את הפולינום האופייני, נמצא את הפולינום המכיל את הגורמים האי פריקים של הפולינום האופייני, בחזקות הכי נמוכות, המאפס את המטריצה

תרגילים

א

הוכח כי למטריצות דומות אותו פולינום מינימלי

הוכחה.

ראשית נשים לב לעובדה הבאה- יהי פולינום f ותהיינה מטריצות דומות A,B אזי גם המטריצות [math]\displaystyle{ f(A),f(B) }[/math] דומות.

אכן, נסמן [math]\displaystyle{ f(x)=a_nx^n+...+a_0 }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ A=P^{-1}BP }[/math]. לכן:

[math]\displaystyle{ f(A)=f(P^{-1}BP)=a_n(P^{-1}BP)^n+...+a_0I = a_nP^{-1}B^nP+...+a_0P^{-1}P = P^{-1}f(B)P }[/math]

מסקנה: נניח A,B מטריצות דומות, אזי לכל פולינום f מתקיים [math]\displaystyle{ f(A)=0 }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ f(B)=0 }[/math].

אכן, המטריצה היחידה הדומה למטריצת האפס הינה מטריצת האפס עצמה. כיוון ש[math]\displaystyle{ f(A),f(B) }[/math] דומות, המסקנה נובעת.

בסה"כ, כיוון שהפולינומים המאפסים מטריצות דומות הם אותם פולינומים, בפרט המינימלי המתוקן מבינהם הוא אותו אחד.

ב

תהי A ריבועית כך שהפולינום המינמלי שלה הינו

[math]\displaystyle{ m_A(x)=(x-1)^2 }[/math]

יהא [math]\displaystyle{ f(x)=x^2+4x+3 }[/math], הוכח כי המטריצה [math]\displaystyle{ f(A) }[/math] הפיכה.

פתרון.

[math]\displaystyle{ f(A)=A^2+4A+3I = (A-I)^2+6A+2I = 6A+2I }[/math]

כעת, נוכיח כי [math]\displaystyle{ |f(A)|\neq 0 }[/math] ולכן המטריצה הפיכה.

נניח בשלילה כי [math]\displaystyle{ |f(A)|= 0 }[/math] לכן [math]\displaystyle{ |6A+2I|=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |A-\frac{-2}{6}I|=0 }[/math]

אם כן, [math]\displaystyle{ \frac{-2}{6} }[/math] הוא ע"ע של המטריצה A, אבל הוא אינו שורש של הפולינום המינימלי הנתון, בסתירה.