88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/9

1

נביט במרחב הפולינומים מדרגה קטנה או שווה ל3 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_3[x] }[/math], עם המכפלה הפנימית [math]\displaystyle{ \lt f,g\gt =\int_{-1}^1f\cdot g dx }[/math].

א

הפעל תהליך גרם-שמידט על הקבוצה הבאה על מנת לקבל בסיס א"נ:

[math]\displaystyle{ B=\{1+x,1-x,x^2,1+2x+x^3\} }[/math]

ב

נסמן [math]\displaystyle{ W=\{1,1+x+x^2\} }[/math] מצא בסיס עבור [math]\displaystyle{ W^\perp }[/math]

2

הוכיחו/הפריכו את הטענה הבאה:

אם ניקח בסיס מלכסן למטריצה ונבצע עליו אלגוריתם גרם שמידט, נקבל בסיס א"נ מלכסן של המטריצה

3

תהי [math]\displaystyle{ 0\neq A\in\mathbb{C}^{3\times 3} }[/math] מטריצה המקיימת [math]\displaystyle{ R(A)\perp C(A) }[/math]. מצא את צורת הז'ורדן של A.

מהי הדרגה של A?

4

יהי V ממ"פ מעל שדה F.

א

נניח [math]\displaystyle{ F=\mathbb{R} }[/math]. הוכיחו/הפריכו: לכל [math]\displaystyle{ u,w\in V }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ ||u+w||=||u||+||w|| }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ u\perp w }[/math]

ב

נניח [math]\displaystyle{ F=\mathbb{C} }[/math]. הוכיחו/הפריכו: לכל [math]\displaystyle{ u,w\in V }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ ||u+w||=||u||+||w|| }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ u\perp w }[/math]