הבדלים בין גרסאות בדף "תקציר תורת המספרים, סמסטר א תשע״ג"
מתוך Math-Wiki
מ (←סימונים) |
מ |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
בקורס זה <math>\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}</math> ו־<math>\mathbb N^+=\{1,2,\dots\}</math>. כמו כן, אלא אם צוין אחרת, <math>A^+:=A\cap\mathbb N^+</math>, כל המשתנים והנעלמים שלמים ו־<math>p</math> ראשוני. | בקורס זה <math>\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}</math> ו־<math>\mathbb N^+=\{1,2,\dots\}</math>. כמו כן, אלא אם צוין אחרת, <math>A^+:=A\cap\mathbb N^+</math>, כל המשתנים והנעלמים שלמים ו־<math>p</math> ראשוני. | ||
− | + | __תוכן__ | |
* '''משפט פיאנו:''' קיימת קבוצה בודדה <math>\mathbb N</math> שעבורה יש פונקציה <math>S:\mathbb N\to\mathbb N</math> המקיימת את אקסיומות פיאנו: <math>S</math> חח״ע, <math>0\not\in\mbox{Im}(S)</math>, <math>0\in\mathbb N</math> ואם <math>K\subseteq\mathbb N</math> מקיימת <math>0\in K\ \and\ (x\in K\iff S(x)\in K)</math> אזי <math>K=\mathbb N</math>. | * '''משפט פיאנו:''' קיימת קבוצה בודדה <math>\mathbb N</math> שעבורה יש פונקציה <math>S:\mathbb N\to\mathbb N</math> המקיימת את אקסיומות פיאנו: <math>S</math> חח״ע, <math>0\not\in\mbox{Im}(S)</math>, <math>0\in\mathbb N</math> ואם <math>K\subseteq\mathbb N</math> מקיימת <math>0\in K\ \and\ (x\in K\iff S(x)\in K)</math> אזי <math>K=\mathbb N</math>. | ||
* <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math> מחולק לשלוש קבוצות: יחידות – <math>U:=\{\pm1\}</math>, ראשוניים – <math>\mathcal P:=\{p\in\mathbb Z\setminus U:\ \forall ab=p:\ a\in U\ \or\ b\in U\}</math> ופריקים – <math>\mathbb Z\setminus\{0\}\setminus U\setminus\mathcal P</math>. | * <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math> מחולק לשלוש קבוצות: יחידות – <math>U:=\{\pm1\}</math>, ראשוניים – <math>\mathcal P:=\{p\in\mathbb Z\setminus U:\ \forall ab=p:\ a\in U\ \or\ b\in U\}</math> ופריקים – <math>\mathbb Z\setminus\{0\}\setminus U\setminus\mathcal P</math>. | ||
שורה 36: | שורה 36: | ||
:* לכל <math>a</math> אותו <math>n</math> יחיד מודולו <math>p-1</math> ולכן נקרא "הלוגריתם מודולו <math>p</math> של <math>a</math> לפי <math>g</math>" ומסומן <math>\log_g^{(p)}(a)</math>. | :* לכל <math>a</math> אותו <math>n</math> יחיד מודולו <math>p-1</math> ולכן נקרא "הלוגריתם מודולו <math>p</math> של <math>a</math> לפי <math>g</math>" ומסומן <math>\log_g^{(p)}(a)</math>. | ||
:* כל <math>g</math> כזה נקרא "שורש פרימיטיבי". יש <math>\varphi(p-1)</math> כאלה. | :* כל <math>g</math> כזה נקרא "שורש פרימיטיבי". יש <math>\varphi(p-1)</math> כאלה. | ||
− | :* {{הערה|הכללה:}} <math>U_n</math> ציקלית אם״ם <math>n\in\{2,4\}\cup\{p^k,2p^k:\ p\in\mathcal P\setminus\{2\}\ \and\ k\in\mathbb N^+\}</math>. | + | :* {{הערה|הכללה:}} <math>U_n</math> ציקלית אם״ם <math>n\in\{2,4\}\cup\left\{p^k,2p^k:\ p\in\mathcal P\setminus\{2\}\ \and\ k\in\mathbb N^+\right\}</math>. |
− | + | == פונקציות אריתמטיות == | |
* <math>f:\mathbb N^+\to\mathbb C</math> נקראת פונקציה אריתמטית. בד״כ <math>\mbox{Im}(f)\subseteq\mathbb Z</math>. | * <math>f:\mathbb N^+\to\mathbb C</math> נקראת פונקציה אריתמטית. בד״כ <math>\mbox{Im}(f)\subseteq\mathbb Z</math>. | ||
* '''קונבולוציית דיריכלה''' בין שתי פונקציות אריתמטיות <math>f,g</math> מוגדרת ע״י <math>(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}d(d)g\!\left(\frac nd\right)=\sum_{mk=n}f(m)g(k)</math>. זו פעולה קומוטטיבית ואסוציאטיבית. | * '''קונבולוציית דיריכלה''' בין שתי פונקציות אריתמטיות <math>f,g</math> מוגדרת ע״י <math>(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}d(d)g\!\left(\frac nd\right)=\sum_{mk=n}f(m)g(k)</math>. זו פעולה קומוטטיבית ואסוציאטיבית. | ||
שורה 54: | שורה 54: | ||
* <math>\varphi*\tau=d</math>. | * <math>\varphi*\tau=d</math>. | ||
− | + | == חוג השלמים של גאוס == | |
האיברים ב־<math>\mathbb Z[\mathrm i]=\mathbb Z+\mathrm i\mathbb Z</math> נקראים שלמים של גאוס. איברי היחידה (כלומר <math>u\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> עבורם <math>u^{-1}\in\mathbb Z[\mathrm i]</math>) הם <math>\pm1,\pm\mathrm i</math>. | האיברים ב־<math>\mathbb Z[\mathrm i]=\mathbb Z+\mathrm i\mathbb Z</math> נקראים שלמים של גאוס. איברי היחידה (כלומר <math>u\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> עבורם <math>u^{-1}\in\mathbb Z[\mathrm i]</math>) הם <math>\pm1,\pm\mathrm i</math>. | ||
* אם <math>\alpha\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> ו־<math>u</math> יחידה אז <math>\alpha,u\alpha</math> נקראים דומים. | * אם <math>\alpha\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> ו־<math>u</math> יחידה אז <math>\alpha,u\alpha</math> נקראים דומים. | ||
שורה 68: | שורה 68: | ||
* אם <math>N(\alpha)\in\mathcal P</math> אז <math>\alpha</math> ראשוני של גאוס. | * אם <math>N(\alpha)\in\mathcal P</math> אז <math>\alpha</math> ראשוני של גאוס. | ||
− | + | == פתרון משוואות דיופנטיות == | |
* '''משוואה לינארית ב־2 נעלמים:''' נרצה לפתור <math>ax+by=c</math> כאשר <math>x,y</math> משתנים והשאר קבועים. נחלק למקרים: | * '''משוואה לינארית ב־2 נעלמים:''' נרצה לפתור <math>ax+by=c</math> כאשר <math>x,y</math> משתנים והשאר קבועים. נחלק למקרים: | ||
:* <math>0\ne(a,b)\nmid c</math>: אין פתרון. | :* <math>0\ne(a,b)\nmid c</math>: אין פתרון. | ||
שורה 78: | שורה 78: | ||
:* {{הערה|הכללה:}} אם לא נתון ש־<math>\forall i\ne j:\ (m_i,m_j)=1</math> אז יש פתרון אם״ם <math>\forall i\ne j:\ c_i\equiv c_j\pmod{(m_i,m_j)}</math>. | :* {{הערה|הכללה:}} אם לא נתון ש־<math>\forall i\ne j:\ (m_i,m_j)=1</math> אז יש פתרון אם״ם <math>\forall i\ne j:\ c_i\equiv c_j\pmod{(m_i,m_j)}</math>. | ||
− | + | === משוואות ריבועיות === | |
בפרק זה <math>p\ne2</math> ו־<math>b</math> אי־זוגי. | בפרק זה <math>p\ne2</math> ו־<math>b</math> אי־זוגי. | ||
* אם קיים פתרון ל־<math>x^2\equiv a\pmod p</math> אז <math>a</math> יקרא ''שארית ריבועית'' (ש״ר). | * אם קיים פתרון ל־<math>x^2\equiv a\pmod p</math> אז <math>a</math> יקרא ''שארית ריבועית'' (ש״ר). | ||
שורה 92: | שורה 92: | ||
:* <math>\left(\frac{a_1 a_2}b\right)=\left(\frac{a_1}b\right)\left(\frac{a_2}b\right)</math> ו־<math>\left(\frac a{b_1 b_2}\right)=\left(\frac a{b_1}\right)\left(\frac a{b_2}\right)</math>. | :* <math>\left(\frac{a_1 a_2}b\right)=\left(\frac{a_1}b\right)\left(\frac{a_2}b\right)</math> ו־<math>\left(\frac a{b_1 b_2}\right)=\left(\frac a{b_1}\right)\left(\frac a{b_2}\right)</math>. | ||
:* <math>\left(\frac1b\right)=1</math>, <math>\left(\frac{-1}b\right)=(-1)^\frac{b-1}2</math> ו־<math>\left(\frac2b\right)=(-1)^\frac{b^2-1}8</math>. | :* <math>\left(\frac1b\right)=1</math>, <math>\left(\frac{-1}b\right)=(-1)^\frac{b-1}2</math> ו־<math>\left(\frac2b\right)=(-1)^\frac{b^2-1}8</math>. | ||
− | :* אם גם <math>a</math> אי־זוגי אז <math>\left(\frac ab\right)=(-1)^\frac{(a-1)(b-1)}4\left(\frac ba\right)</math>. | + | :* '''משפט ההדדיות הריבועית:''' אם גם <math>a</math> אי־זוגי אז <math>\left(\frac ab\right)=(-1)^\frac{(a-1)(b-1)}4\left(\frac ba\right)</math>. |
* '''למת לגרנז׳:''' <math>-1</math> שארית ריבועית מודולו <math>p</math> אם״ם <math>p\equiv1\pmod4</math>. השורש מודולו <math>p</math> הוא <math>\frac{p-1}2!</math>. | * '''למת לגרנז׳:''' <math>-1</math> שארית ריבועית מודולו <math>p</math> אם״ם <math>p\equiv1\pmod4</math>. השורש מודולו <math>p</math> הוא <math>\frac{p-1}2!</math>. | ||
* '''משפט פרמה:''' ל־<math>x^2+y^2=p</math> יש פתרון בשלמים אם״ם <math>p\equiv1\pmod4</math> (או <math>p=2</math>). | * '''משפט פרמה:''' ל־<math>x^2+y^2=p</math> יש פתרון בשלמים אם״ם <math>p\equiv1\pmod4</math> (או <math>p=2</math>). | ||
שורה 102: | שורה 102: | ||
* יהי <math>a\not\equiv0\pmod p</math> ונרצה לפתור <math>x^2\equiv a\pmod p</math> כשנתון ש־<math>a</math> שארית ריבועית: <math>x:\equiv\left(\begin{cases}a^\frac{p+1}4,&p\equiv3\pmod 4\\a^\frac{p+3}8,&p\equiv5\pmod8\ \and\ a^\frac{p-1}4\equiv1\pmod p\\2a(4a)^\frac{p-5}8,&p\equiv5\pmod8\ \and\ a^\frac{p-1}4\equiv-1\pmod p\end{cases}\right)\pmod p</math>. למקרה <math>p\equiv1\pmod8</math> יש פתרון אך הוא מורכב ולא נביאו. | * יהי <math>a\not\equiv0\pmod p</math> ונרצה לפתור <math>x^2\equiv a\pmod p</math> כשנתון ש־<math>a</math> שארית ריבועית: <math>x:\equiv\left(\begin{cases}a^\frac{p+1}4,&p\equiv3\pmod 4\\a^\frac{p+3}8,&p\equiv5\pmod8\ \and\ a^\frac{p-1}4\equiv1\pmod p\\2a(4a)^\frac{p-5}8,&p\equiv5\pmod8\ \and\ a^\frac{p-1}4\equiv-1\pmod p\end{cases}\right)\pmod p</math>. למקרה <math>p\equiv1\pmod8</math> יש פתרון אך הוא מורכב ולא נביאו. | ||
− | + | ==== משוואות פיתגורס ==== | |
נרצה למצוא את הפתרונות השלמים של <math>x^2+y^2=z^2</math>. | נרצה למצוא את הפתרונות השלמים של <math>x^2+y^2=z^2</math>. | ||
* פתרון יקרא פרמיטיבי אם <math>(x,y,z)=1</math>. | * פתרון יקרא פרמיטיבי אם <math>(x,y,z)=1</math>. | ||
* הפתרונות החיוביים (כלומר <math>x,y,z>1</math>) הפרמיטבים הם מהצורות הבאות: יהיו <math>m>n>0</math> זרים. אם הם אי־זוגיים אז <math>x=mn,\ y=\frac{m^2-n^2}2,\ z=\frac{m^2+n^2}2</math> ואם אחד מהם זוגי אז <math>x=2mn,\ y=m^2-n^2,\ z=m^2+n^2</math>. | * הפתרונות החיוביים (כלומר <math>x,y,z>1</math>) הפרמיטבים הם מהצורות הבאות: יהיו <math>m>n>0</math> זרים. אם הם אי־זוגיים אז <math>x=mn,\ y=\frac{m^2-n^2}2,\ z=\frac{m^2+n^2}2</math> ואם אחד מהם זוגי אז <math>x=2mn,\ y=m^2-n^2,\ z=m^2+n^2</math>. | ||
− | + | ==== עקומות רציונליות ==== | |
* יהי <math>f</math> פולינום בשני משתנים עם מקדמים רציונלים (כלומר <math>f\in\mathbb Q[x,y]</math>) שאינה פריקה (כלומר אין <math>g,h\in\mathbb C[x,y]</math> לא קבועות כך ש־<math>f=g\cdot h</math>). העקומה <math>C_f:=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ f(x,y)=0\}</math> תקרא רציונלית אם קיימת לה פרמטריזציה <math>\gamma(t)=(x(t),y(t))</math> (למעט, אולי, בכמה נקודות מבודדות) כאשר <math>x,y</math> הם חלוקות של פולינומים במשתנה אחד עם מקדמים רציונלים. | * יהי <math>f</math> פולינום בשני משתנים עם מקדמים רציונלים (כלומר <math>f\in\mathbb Q[x,y]</math>) שאינה פריקה (כלומר אין <math>g,h\in\mathbb C[x,y]</math> לא קבועות כך ש־<math>f=g\cdot h</math>). העקומה <math>C_f:=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ f(x,y)=0\}</math> תקרא רציונלית אם קיימת לה פרמטריזציה <math>\gamma(t)=(x(t),y(t))</math> (למעט, אולי, בכמה נקודות מבודדות) כאשר <math>x,y</math> הם חלוקות של פולינומים במשתנה אחד עם מקדמים רציונלים. | ||
* נניח ש־<math>f</math> לא פריקה ו־<math>\deg(f)=2</math>. אם ל־<math>f(x,y)=0</math> יש פתרון ב־<math>\mathbb Q^2</math> אז <math>C_f</math> רציונלית. | * נניח ש־<math>f</math> לא פריקה ו־<math>\deg(f)=2</math>. אם ל־<math>f(x,y)=0</math> יש פתרון ב־<math>\mathbb Q^2</math> אז <math>C_f</math> רציונלית. | ||
* '''משפט לג׳נדר:''' נרצה לדעת אם ל־<math>ax^2+by^2=c</math> יש פתרון רציונלי כאשר <math>a,b,c\in\mathbb Q</math>. ניתן להניח בה״כ ש־<math>a,b,c</math> שלמים, זרים בזוגות וחופשיים מריבועים. קיים פתרון רציונלי אם״ם <math>-ab</math> ש״ר מודולו <math>c</math>, <math>ac</math> ש״ר מודולו <math>b</math> ו־<math>bc</math> ש״ר מודולו <math>a</math>. | * '''משפט לג׳נדר:''' נרצה לדעת אם ל־<math>ax^2+by^2=c</math> יש פתרון רציונלי כאשר <math>a,b,c\in\mathbb Q</math>. ניתן להניח בה״כ ש־<math>a,b,c</math> שלמים, זרים בזוגות וחופשיים מריבועים. קיים פתרון רציונלי אם״ם <math>-ab</math> ש״ר מודולו <math>c</math>, <math>ac</math> ש״ר מודולו <math>b</math> ו־<math>bc</math> ש״ר מודולו <math>a</math>. | ||
− | + | ==== משוואות פל ==== | |
יהי <math>m>1</math> שאינו ריבועי. משוואת פל היא <math>x^2-my^2=1</math> כאשר <math>x,y\in\mathbb Z</math>. תמיד קיים הפתרון הטריוויאלי <math>x=1,\ y=0</math>. | יהי <math>m>1</math> שאינו ריבועי. משוואת פל היא <math>x^2-my^2=1</math> כאשר <math>x,y\in\mathbb Z</math>. תמיד קיים הפתרון הטריוויאלי <math>x=1,\ y=0</math>. | ||
* לכל משוואת פל קיים פתרון לא טריוויאלי. | * לכל משוואת פל קיים פתרון לא טריוויאלי. | ||
שורה 118: | שורה 118: | ||
:* {{הערה|הערה:}} בהינתן הפתרון המינימלי נוח לחשב את שאר הפתרונות עם הנוסחה <math>\left(x_0+\sqrt my_0\right)\left(x+\sqrt my\right)=(x_0x+my_0y)+\sqrt m(y_0x+x_0y)</math>. | :* {{הערה|הערה:}} בהינתן הפתרון המינימלי נוח לחשב את שאר הפתרונות עם הנוסחה <math>\left(x_0+\sqrt my_0\right)\left(x+\sqrt my\right)=(x_0x+my_0y)+\sqrt m(y_0x+x_0y)</math>. | ||
− | + | === משוואות פולינומיאליות === | |
יהי <math>m>1</math> ונרצה לפתור או לבדוק כמה פתרונות יש ל־<math>f(x)\equiv0\pmod m</math> כאשר <math>f\in\mathbb Z[x]</math>. | יהי <math>m>1</math> ונרצה לפתור או לבדוק כמה פתרונות יש ל־<math>f(x)\equiv0\pmod m</math> כאשר <math>f\in\mathbb Z[x]</math>. | ||
* '''משוואה לינארית:''' <math>ax\equiv b</math>. קיים פתרון אם״ם <math>d:=(a,m)\mid b</math>. אם <math>x_0</math> פתרון פרטי של <math>ax\equiv b\pmod{m/d}</math> אז כל הפתרונות הם <math>x\equiv x_0+k\frac md\pmod m</math> כאשר <math>0\le k\le d-1</math>, ויש <math>d</math> פתרונות. | * '''משוואה לינארית:''' <math>ax\equiv b</math>. קיים פתרון אם״ם <math>d:=(a,m)\mid b</math>. אם <math>x_0</math> פתרון פרטי של <math>ax\equiv b\pmod{m/d}</math> אז כל הפתרונות הם <math>x\equiv x_0+k\frac md\pmod m</math> כאשר <math>0\le k\le d-1</math>, ויש <math>d</math> פתרונות. |
גרסה מ־20:44, 23 בינואר 2013
בקורס זה ו־
. כמו כן, אלא אם צוין אחרת,
, כל המשתנים והנעלמים שלמים ו־
ראשוני.
תוכן עניינים
- משפט פיאנו: קיימת קבוצה בודדה
שעבורה יש פונקציה
המקיימת את אקסיומות פיאנו:
חח״ע,
,
ואם
מקיימת
אזי
.
-
מחולק לשלוש קבוצות: יחידות –
, ראשוניים –
ופריקים –
.
- לכל
ו־
קיים זוג יחיד של שארית
ומנה
כך ש־
.
- המשפט הבסיסי של האתריתמטיקה: כל מספר ב־
ניתן לפירוק יחיד (עד כדי סדר ההכפלה) של גורמים ראשוניים.
- למת אוקלידס: אם
אז
.
- נסמן
אם
.
- נניח ש־
ו/או
שונים מ־0. אזי קיים
יחיד (הנקרא מחלק משותף מקסימלי של
ומסומן
) עבורו
ואם
כך ש־
אזי
.
- אם
אזי
.
-
.
-
.
- אם
זרים ו־
אזי
.
- אם
וה־
שונים זה מזה אזי
.
-
יקרא חופשי מראשוניים אם
.
- אלגוריתם אוקלידס: נניח
ונרצה לחשב
כאשר
. אם
שארית החלוקה של
ב־
אזי
. נמשיך כך עד שנקבל
. ניתן להעזר באלגוריתם גם כדי לפתור את
: נסמן
ולכן בתהליך החישוב של
עם האלגוריתם נקבל
כאשר
. לפיכך:
- נאמר ש־
חופפים מודולו
(ונסמן
) אם
.
מגדיר יחס שקילות כאשר
מחלקת השקילות של
ו־
קבוצת מחלקות השקילות.
- אם
ו־
אז
.
- יהי
.
אם״ם
הפיך. ניתן למצוא את ההופכי ל־
ע״י פתירת
, ואז
.
-
.
- פונקציית אוילר היא
עבורה
.
- פונקציית אוילר כפלית אריתמטית.
- מערכת מלאה מודולו m היא קבוצה
עבורה
. קיים
יחיד כנ״ל לכל
. באופן שקול, המערכת מלאה מודולו
אם
.
- אם
מלאה מודולו
,
ו־
שלם אזי
מלאה מודולו
.
- מערכת מצומצמת מודולו m היא קבוצה
כך ש־
. באופן שקול,
.
- אם
מצומצמת מודולו
ו־
אז
מצומצמת מודולו
.
- אם
אזי
. בפרט,
.
- משפט גאוס:
.
- משפט אוילר: אם
אז
. משפט פרמה הוא מקרה פרטי כאשר
ראשוני.
- משפט וילסון:
.
- מבחן הראשוניות של Salovay & Strassen:
ראשוני אם״ם
או
.
- אם
פריק אז
שלא מקיים את התנאי הנ״ל נקרא עד לפריקות של
.
- אם
פריק אז לפחות חצי מהמספרים
הם עדים לפריקות.
- אם
- משפט גאוס:
חבורה ציקלית, כלומר קיים
כך ש־
.
- לכל
אותו
יחיד מודולו
ולכן נקרא "הלוגריתם מודולו
של
לפי
" ומסומן
.
- כל
כזה נקרא "שורש פרימיטיבי". יש
כאלה.
- הכללה:
ציקלית אם״ם
.
- לכל
פונקציות אריתמטיות
-
נקראת פונקציה אריתמטית. בד״כ
.
- קונבולוציית דיריכלה בין שתי פונקציות אריתמטיות
מוגדרת ע״י
. זו פעולה קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
- נסמן
.
היא פונקציית היחידה ביחס לקונבולוציה, כלומר
.
-
אריתמטית תקרא כפלית אם
וכפלית אריתמטית אם
.
- אם
כפליות אריתמטיות אז כך גם
.
- פונקציית הממוצע האריתמטי של
מוגדרת ע״י
כאשר
.
- אם
אז
נקראת הפיכה (ביחס לקונבולוציית דיריכלה) ונסמן
.
-
הפיכה אם״ם
.
- אם
הפיכה וכפלית אריתמטית אז
כפלית אריתמטית.
- פונקציית מוביוס היא
ומקיימת
.
-
.
- מגדירים
.
- נגדיר
. מקרה שימושי הוא
ואז
כאשר
.
-
.
חוג השלמים של גאוס
האיברים ב־ נקראים שלמים של גאוס. איברי היחידה (כלומר
עבורם
) הם
.
- אם
ו־
יחידה אז
נקראים דומים.
- נגדיר
ע״י
. היא כפלית (
) ו־
יחידה אם״ם
.
- ראשוני של גאוס הוא שלם
של גאוס שאינו יחידה ואם
אז
או
יחידות.
- אם
כך ש־
אז יש
עבורם
כך ש־
.
- משפט גאוס: ב־
קיים פירוק יחיד לגורמים ראשוניים של גאוס.
- הראשוניים של גאוס מתחלקים לסוגים הבאים:
-
. הוא "קשור" ל־2 ע״י
.
- לכל
יש פתרון ל־
. המספרים
הם ראשוניים לא דומים של גאוס.
- כל
הוא גם ראשוני של גאוס.
-
- כל ראשוני של גאוס מחלק ראשוני טבעי כלשהו.
- אם
אז
ראשוני של גאוס.
פתרון משוואות דיופנטיות
- משוואה לינארית ב־2 נעלמים: נרצה לפתור
כאשר
משתנים והשאר קבועים. נחלק למקרים:
-
: אין פתרון.
-
: ניתן לפתור
ע״י אלגוריתם אוקלידס (כמפורט בהמשך הסעיף). הפתרון הכללי הוא
לכל
.
-
: נחלק את אגפי המשוואה ב־
ונקבל משוואה חדשה מהמקרה הקודם.
- אם בפרט
אז ניתן לפתור גם באמצעות אלגוריתם אוקלידס.
- אם בפרט
-
- משפט השאריות הסיני: נניח ש־
ונתונה
. למערכת
קיים פתרון יחיד מודולו
.
- אם
אז
. ה־
־ים מקיימים
כאשר
.
- הכללה: אם לא נתון ש־
אז יש פתרון אם״ם
.
- אם
משוואות ריבועיות
בפרק זה ו־
אי־זוגי.
- אם קיים פתרון ל־
אז
יקרא שארית ריבועית (ש״ר).
- יש
שאריות ריבועיות ב־
והן
.
- אם
אז
.
- סימן לז׳נדר:
. לפיכך
שארית ריבועית אם״ם
.
- משפט אוילר:
.
- למת גאוס: נסמן
ונגדיר
כאשר
. אזי
.
- סימן יעקובי: יהי
. מגדירים
.
- אם
אז ל־
אין פתרון. ההפך לא תמיד נכון.
- תכונות של סימני לז׳נדר ויעקובי:
-
אז
.
-
ו־
.
-
,
ו־
.
- משפט ההדדיות הריבועית: אם גם
אי־זוגי אז
.
-
- למת לגרנז׳:
שארית ריבועית מודולו
אם״ם
. השורש מודולו
הוא
.
- משפט פרמה: ל־
יש פתרון בשלמים אם״ם
(או
).
- אם
לאו דווקא ראשוני אבל
אז עדיין אין פתרון בשלמים.
- עקרון דיריכלה: נרצה לפתור את המשוואה. נסמן
ונניח
כך ש־
. נסמן
ו־
והם פותרים את
.
- אם
- משפט אוילר: ל־
יש פתרון בשלמים אם״ם
.
- משפט דיריכלה: לכל
ו־
זר לו יש אינסוף ראשוניים
עבורם
. בפרט יש אינסוף ראשוניים עבורם
.
-
שארית ריבועית מודולו
לכל
אם״ם
.
- יהי
ונרצה לפתור
כשנתון ש־
שארית ריבועית:
. למקרה
יש פתרון אך הוא מורכב ולא נביאו.
משוואות פיתגורס
נרצה למצוא את הפתרונות השלמים של .
- פתרון יקרא פרמיטיבי אם
.
- הפתרונות החיוביים (כלומר
) הפרמיטבים הם מהצורות הבאות: יהיו
זרים. אם הם אי־זוגיים אז
ואם אחד מהם זוגי אז
.
עקומות רציונליות
- יהי
פולינום בשני משתנים עם מקדמים רציונלים (כלומר
) שאינה פריקה (כלומר אין
לא קבועות כך ש־
). העקומה
תקרא רציונלית אם קיימת לה פרמטריזציה
(למעט, אולי, בכמה נקודות מבודדות) כאשר
הם חלוקות של פולינומים במשתנה אחד עם מקדמים רציונלים.
- נניח ש־
לא פריקה ו־
. אם ל־
יש פתרון ב־
אז
רציונלית.
- משפט לג׳נדר: נרצה לדעת אם ל־
יש פתרון רציונלי כאשר
. ניתן להניח בה״כ ש־
שלמים, זרים בזוגות וחופשיים מריבועים. קיים פתרון רציונלי אם״ם
ש״ר מודולו
,
ש״ר מודולו
ו־
ש״ר מודולו
.
משוואות פל
יהי שאינו ריבועי. משוואת פל היא
כאשר
. תמיד קיים הפתרון הטריוויאלי
.
- לכל משוואת פל קיים פתרון לא טריוויאלי.
- יהי
הפתרון החיובי המינימלי (נקרא "הפתרון הפונדמנטלי"), כלומר
כך ש־
הוא ה־
המינימלי הגדול מ־1 שקיים לו
הפותר את המשוואה. אזי כל הפתרונות הם
עבור
.
- הערה: בהינתן הפתרון המינימלי נוח לחשב את שאר הפתרונות עם הנוסחה
.
- הערה: בהינתן הפתרון המינימלי נוח לחשב את שאר הפתרונות עם הנוסחה
משוואות פולינומיאליות
יהי ונרצה לפתור או לבדוק כמה פתרונות יש ל־
כאשר
.
- משוואה לינארית:
. קיים פתרון אם״ם
. אם
פתרון פרטי של
אז כל הפתרונות הם
כאשר
, ויש
פתרונות.
- מגדירים
. זו פונקציה כפלית אריתמטית.
- שיטת הנזל: יהי
פתרון של
כאשר
ונרצה לפתור
. נחלק למקרים לפי הנגזרת בנקודה זו:
-
: הפתרונות היחידים (מודולו
) למשוואה הם
עבור
.
-
: לכן
קיים ו־
עבור
הוא הפתרון היחיד.
-
- משפט בסונט: אם
שורש של
אז קיימת
כך ש־
ו־
.
- חילוק פולינומים: אם
ו־
פולינום מתוקן אז קיימים
עבורם
ו־
.
- משפט לגראנז׳: ל־
יש לכל היותר
שורשים. בנוסף, אם
כך של־
יש יותר מ־
שורשים אז אז כל המקדמים ב־
מתחלקים ב־
.
- הערה: המשפט לא מתקיים ל־
פריק.
- הערה: המשפט לא מתקיים ל־
-
.
- ל־
יש
שורשים שונים. בפרט, אם
אז ל־
יש
שורשים שונים אם״ם
.