הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/פתרון מועד א - גרסת שנפס"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף א) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף א) |
||
שורה 177: | שורה 177: | ||
<math>\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=1</math> | <math>\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===סעיף ב=== | ||
+ | |||
+ | <math>a_{n+1}=\frac{(n-1)x_0 a_n}{n^2-1}</math> כאשר <math>a_2>0</math> ו <math>x_0>1</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נשים לב ש | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{(n-1)}{n^2-1}=\frac{n-1}{(n-1)(n+1)}=\frac{1}{n+1}</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן | ||
+ | |||
+ | <math>a_{n+1}=\frac{x_0 a_n}{n+1}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *טענה: לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>a_n>0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | הוכחה: באינדוקציה, ידוע כבר כי <math>a_2>0</math> אבל אם <math>a_n>0</math> בהכרח יתקיים | ||
+ | |||
+ | <math>a_{n+1}>0</math> כי <math>x_0>0</math> ו <math>\frac{1}{n+1}>0</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *טענה: עבור <math>n>x_0</math> מתקיים <math>a_{n+1}<a_n</math>. | ||
+ | |||
+ | כלומר הסדרה יורדת אם <math>n>x_0</math>. | ||
+ | |||
+ | הוכחה: אם <math>n>x_0</math> אז <math>\frac{x_0}{n+1}<1</math> ולכן | ||
+ | |||
+ | <math>a_{n+1}=\frac{x_0 a_n}{n+1}<a_n</math> (נשים לב שכאן משתמשים בכך ש <math>a_n>0</math>) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | קיבלנו שהחל מ <math>N\in \mathbb{N}</math> כלשהוא, הסדרה היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע. | ||
+ | |||
+ | בגלל שמספר סופי של איברים לא משנה את גבול הסדרה, נקבל ש <math>a_n</math> מתכנסת (כי החל מנקודה מסוימת היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע). | ||
+ | |||
+ | נותר רק למצוא את גבולה. | ||
+ | |||
+ | נזכור כי בגלל ש <math>a_n</math> מתכנסת, היא גם סדרה חסומה. | ||
+ | |||
+ | בנוסף ברור ש | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x_0}{n+1}=0</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן מתקיים | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{n\rightarrow \infty} a_{n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_0 a_n}{n+1}=0</math> | ||
+ | |||
+ | בתור כפל של סדרה חסומה עם סדרה שמתכנסת ל <math>0</math>. | ||
+ | |||
+ | לכן הגבול הוא <math>0</math>. |
גרסה מ־20:14, 29 בינואר 2013
תוכן עניינים
שאלה 1
סעיף ב
ידוע כי
נניח ש
נסמן
כלומר
טענת עזר: קיים כך שאם אז
(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב שיותר קטנים מ )
הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ שעבורם
אז קיימת תת סדרה כך ש לכל
נשים לב ש היא חסומה מלרע ולכן חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
לכן ל יש תת סדרה מתכנסת כך ש
וזאת בסתירה לכך ש
זה מוכיח את טענת העזר.
כעת, אנחנו יודעים שהחל מ כלשהוא מתקיים
אבל בגלל ש זה אומר שהחל מאותו מתקיים
בגלל שהטור מתבדר
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור מתבדר.
שאלה 2
סעיף א
טענת עזר: אם קבוצות חסומות מלעיל אז
הוכחה: נוכיח שהמספר מקיים את התכונות של
- תכונה א': חסם מלעיל של . הוכחה:
אם אז ניתן לכתוב כאשר .
היות ו ו מתקיים
- תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:
יהי איזשהוא חסם מלעיל של
נניח בשלילה ש
אז נקבל ש
ולכן קיים כך ש
מכאן נקבל
ולכן קיים כך ש
ולכן
בסתירה לכך ש חסם מלעיל של
לכן בהכרח מתקיים
לסיכום: הוכחנו שהמספר מקיים את שתי התכונות של חסם עליון
ולכן . מש"ל טענת עזר.
עכשיו קל להוכיח את הדרוש:
מש"ל.
סעיף ב
הפרכה פשוטה, ניקח ו
מתקיים שלכל (ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל ).
אבל
שתי הערות:
א) כמעט לכל פירושו: לכל פרט למספר סופי של מקרים.
אן לחילופין: קיים כך שהטענה מתקיימת לכל .
ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה
אם ו
אז
.
שאלה 3
סעיף א
נשים לב שבסכום זה יש מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות.
במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץ.
נגדיר:
בגלל ש (כאשר )
ברור ש
ולכן
בצורה דומה נגדיר
ויתקיים
ו
לכן לפי כלל הסנדויץ
סעיף ב
כאשר ו .
נשים לב ש
ולכן
- טענה: לכל מתקיים
הוכחה: באינדוקציה, ידוע כבר כי אבל אם בהכרח יתקיים
כי ו .
- טענה: עבור מתקיים .
כלומר הסדרה יורדת אם .
הוכחה: אם אז ולכן
(נשים לב שכאן משתמשים בכך ש )
קיבלנו שהחל מ כלשהוא, הסדרה היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע.
בגלל שמספר סופי של איברים לא משנה את גבול הסדרה, נקבל ש מתכנסת (כי החל מנקודה מסוימת היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע).
נותר רק למצוא את גבולה.
נזכור כי בגלל ש מתכנסת, היא גם סדרה חסומה.
בנוסף ברור ש
ולכן מתקיים
בתור כפל של סדרה חסומה עם סדרה שמתכנסת ל .
לכן הגבול הוא .