הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 3) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 3) |
||
שורה 80: | שורה 80: | ||
<math>f_1(x,y,z)=x^2+y^2-\frac{1}{2}z^2=0</math> | <math>f_1(x,y,z)=x^2+y^2-\frac{1}{2}z^2=0</math> | ||
+ | |||
<math>f_2(x,y,z)=x+y+z-2=0</math> | <math>f_2(x,y,z)=x+y+z-2=0</math> | ||
גרסה מ־19:03, 4 בפברואר 2013
תוכן עניינים
שאלה 1
סעיף א
עבור נקודות פשוט גוזרים את הפונקציה לפי
עבור הנקודה קל לראות ש
סעיף ב
כמו שראינו בקלות ש קל לראות שגם ו .
ראשית נוודא ש רציפה (לא חייבים, אבל בדר"כ שווה לבדוק. כי אם היא לא רציפה אז ברור שהיא לא דיפרנציאבילית).
נשים לב ש
ולכן רציפה.
נבדוק דיפרנציאביליות
צריך לבדוק אם המוגדרת לפי:
מתכנסת ל בנקודה .
במקרה שלנו צריך לבדוק את:
היות ו
נותר לבדוק את
נשים לב ש
דרך אחרת (שימושית כאשר יש במכנה דברים בסגנון ):
עוברים לקוארדינטות כדוריות
ואז צריך לחשב גבול
ולכן דיפרנציאבילית ב .
שאלה 3
הנגזרות החלקיות של הפונקציות
קיימות עד איזה סדר שרוצים.
כמו כן, הנקודה מקיימת את מערכת המשוואות.
נבדוק את התנאי של משפט הפונקציה הסתומה
בנקודה נקבל את המטריצה
שהיא מטריצה הפיכה.
לכן לפי משפט הפונקציה הסתומה, אכן מוגדרות פונקציות של לפי
לפי משפט הפונקציה הסתומה, קיימת סביבה של הנקודה
שבה מתקיים:
כלומר במקרה שלנו:
אם פותרים את המשוואות
רואים ש
כלומר:
מכאן, על ידי הצבה של קל לראות שבנקודה מתקיים
כמו כן נחשב את בסביבה של על ידי גזירה רגילה לפי (אבל נשים לב ש הם פונקציות של ):
נציב ונקבל: