|
|
| שורה 1: |
שורה 1: |
| *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]] | | *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]] |
|
| |
|
| |
| ==שאלה 4==
| |
| ===סעיף א===
| |
|
| |
| המשוואות המדוברות דיפרנציאביליות ברציפות והגרדיאנט של התנאי הוא:
| |
|
| |
| <math>\nabla g = (\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2},\frac{2z}{c^2})</math>
| |
|
| |
| שהוא לא מתאפס בנקודות שמקיימות את התנאי.
| |
|
| |
| לכן אפשר להשתמש בכופלי לגרנז ללא חשש.
| |
|
| |
| שימוש בכופלי לגרנז מוביל אל המשוואות הבאות:
| |
|
| |
| <math>2x+\lambda \frac{2x}{a^2}=0</math>
| |
|
| |
| <math>2y+\lambda \frac{2y}{b^2}=0</math>
| |
|
| |
| <math>2z+\lambda \frac{2z}{c^2}=0</math>
| |
|
| |
| <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1</math>
| |
|
| |
| אם נסתכל על שלושת המשוואות הראשונות, נקבל מערכת משוואות לינארית
| |
|
| |
| <math>
| |
| \begin{bmatrix}
| |
| 2+\frac{2 \lambda}{a^2} & 0 & 0 \\
| |
| 0 & 2+\frac{2 \lambda}{b^2} & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 2+\frac{2 \lambda}{c^2}
| |
| \end{bmatrix}
| |
| \begin{bmatrix}
| |
| x \\
| |
| y \\
| |
| z
| |
| \end{bmatrix}
| |
| =
| |
| \begin{bmatrix}
| |
| 0 \\
| |
| 0 \\
| |
| 0
| |
| \end{bmatrix}
| |
| </math>
| |
|
| |
| אם המטריצה הפיכה, אז הפתרון היחיד הוא
| |
|
| |
| <math>x=0,\quad y=0, \quad z=0</math>
| |
|
| |
| וזה לא יקיים את האילוץ
| |
|
| |
| לכן בהכרח המטריצה לא הפיכה, כלומר
| |
|
| |
| <math>\lambda \in \{-a^2,-b^2,-c^2\}</math>
| |
|
| |
| בגלל ש <math>a,b,c</math> מספרים שונים אלה שלוש אפשרויות שונות.
| |
|
| |
| אם <math>\lambda = -a^2</math> נקבל שבהכרח <math>y=z=0</math> ולפי האילוץ
| |
|
| |
| <math>\frac{x^2}{a^2}=1</math> כלומר <math>x=\pm a</math>.
| |
|
| |
| בדומה שתי האפשרויות האחרות הן:
| |
|
| |
| <math>x=0 ,\quad y=\pm b ,z=0</math>
| |
|
| |
| <math>x=0 ,\quad y=0 ,\quad z=\pm c</math>
| |
|
| |
| כעת נותר להחליט אם אלה אקסטרימלים (נקודות קיצון).
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| אפשר להפעיל שיקול כזה: היות ו <math>f</math> רציפה על קבוצה סגורה וחסומה, יש לה נקודות מינמום ומקסימום גלובאליות (שהן בפרט מקומיות).
| |
| ידוע שנקודות הקיצון המקומיות הן פתרונות של משוואות לגרנז'.
| |
|
| |
| לכן שניים מהפתרונות חייבים להיות מינימום ומקסימום גלובאליים.
| |
|
| |
| היות ו <math>a>b>c>0</math> ברור ש
| |
|
| |
| <math>(\pm a ,0,0)</math> הן מקסימום גלובאלי.
| |
|
| |
| ו <math>(0,0,\pm c)</math> הוא מינימום גלובאלי.
| |
|
| |
| כעת נותר להחליט האם <math>(0,\pm b,0)</math> היא גם נקודת קיצון.
| |
|
| |
| אפשר להפעיל שיקול כזה:
| |
|
| |
| אם נסתכל על ההטלה על המישור <math>z=0</math> נקבל חישוב של <math>x^2+y^2</math> תחת האילוץ <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>
| |
|
| |
| במצב כזה, <math>(0,\pm b)</math> היא נקודת מינימום.
| |
|
| |
| אם נסתכל על ההטלה למישור <math>x=0</math> נקבל ש <math>(\pm b,0)</math> היא נקודת מקסימום.
| |
|
| |
| ולכן <math>(0,\pm b,0)</math> היא לא נקודת קיצון.
| |
|
| |
| לסיכום נקודות הקיצון הן:
| |
|
| |
| נקודות מקסימום
| |
| <math>(a,0,0) \quad (-a,0,0)</math>
| |
|
| |
| נקודות מינימום:
| |
| <math>(0,0,c) \quad (0,0,-c)</math>
| |
