משתמש:איתמר שטיין

• הסבר על חישוב הופכי ב [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]

[math]\displaystyle{ f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)=x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3 }[/math]

הגרדיאנט הוא:

[math]\displaystyle{ \nabla f = (3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3,2x^3y-2x^4y-3x^3y^2) }[/math]

אם נשווה אותו ל [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] ונקבל:

[math]\displaystyle{ 3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3 = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2x^3y-2x^4y-3x^3y^2=0 }[/math]

נקבל שאם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ y=0 }[/math] שתי המשוואות מתקיימות.

אם [math]\displaystyle{ x\neq 0 ,\quad y\neq 0 }[/math], נקבל שהמשוואות הן:

[math]\displaystyle{ 3-4x-3y=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2-2x-3y=0 }[/math]

הפתרון של המערכת הזאת הוא:

[math]\displaystyle{ (\frac{1}{2},\frac{1}{3}) }[/math]

ולכן כלל הנקודות הקריטיות הן:

[math]\displaystyle{ \{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\} }[/math]

עכשיו צריך לסווג

מטריצת ההסיאן היא: [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6xy^2-12x^2y^2-6xy^3 & 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 \\ 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 & 2x^3-2x^4-6x^3y \end{bmatrix} }[/math]

כמובן שהצבה של [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ y=0 }[/math] לא תקדם אותנו יותר מדי.

אם נציב [math]\displaystyle{ (\frac{1}{2},\frac{1}{3}) }[/math] נקבל (אם אין לי טעות חישוב): [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{9} & \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{9} & -\frac{1}{12} \\ -\frac{1}{12} & -\frac{1}{8} \end{bmatrix} }[/math]

המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום.

עכשיו צריך למיין ידנית את שאר הנקודות.

נתחיל בנקודות שעל ציר [math]\displaystyle{ y }[/math].

נביט על נקודה כלשהיא [math]\displaystyle{ (0,y_0) }[/math].

אם נתקדם לאורך הישר [math]\displaystyle{ y=-x+y_0 }[/math] (שעובר כמובן ב [math]\displaystyle{ (0,y_0) }[/math]).

אז

[math]\displaystyle{ f(x,-x+y_0)=x^3(-x+y_0)^2(1-y_0) }[/math]

אם [math]\displaystyle{ y_0\gt 1 }[/math] אז הפונקציה שלנו שלילית כש [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] וחיובית כש [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math]

אם [math]\displaystyle{ y_0\lt 1 }[/math] אז הפונקציה שלנו חיובית כש [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] ושלילית כש [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math]

בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון.

נותר לבדוק את הנקודה [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math].

אם נתקדם לאורך הישר [math]\displaystyle{ y=1 }[/math] נקבל ש

[math]\displaystyle{ f(x,1)=-x^4 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] היא מקסימום לאורך הקו הזה.

אבל אם נתקדם לאורך הישר [math]\displaystyle{ y=-2x+1 }[/math] נקבל ש

[math]\displaystyle{ f(x,-2x+1)=x^3(-2x+1)^2(x)=x^4(-2x+1)^2 }[/math] נקבל ש [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] היא נקודת מינימום לאורך הקו הזה.

לכן [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] היא גם נקודת אוכף.

סיכום ביניים: כל ציר [math]\displaystyle{ y }[/math] הוא נקודות אוכף.

כעת נעבור לציר [math]\displaystyle{ x }[/math].

כלומר נחקור נקודות מהצורה [math]\displaystyle{ (x_0,0) }[/math].

אם [math]\displaystyle{ x_0\gt 1 }[/math] אז קיימת סביבה של [math]\displaystyle{ (x_0,0) }[/math] שבה [math]\displaystyle{ 1-x-y\lt 0 }[/math] ולכן באותה סביבה מתקיים ש

[math]\displaystyle{ x^3y^2(1-x-y)\leq 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x_0,0)=0 }[/math] היא נקודת מקסימום.

אם [math]\displaystyle{ 0\lt x_0\lt 1 }[/math] אז קיימת סביבה שבה [math]\displaystyle{ 1-x-y\gt 0 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ x^3y^2(1-x-y)\geq 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (x_0,0) }[/math] היא מינימום

אם [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] אז קיימת סביבה שבה [math]\displaystyle{ 1-x-y\gt 0 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ x^3y^2(1-x-y)\leq 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (x_0,0) }[/math] היא מקסימום.

כבר ראינו שהנקודה [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] היא נקודת אוכף (היא על ציר [math]\displaystyle{ y }[/math]).

נותר לבדוק את הנקודה [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math].

נתקדם לאורך הישר [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ f(1,y)=-y^3 }[/math] שזאת פונקציה עם נקודת פיתול ב [math]\displaystyle{ y=0 }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math] היא נקודת אוכף.

לסיכום:

נקודות קריטיות:

[math]\displaystyle{ \{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\} }[/math]

מתוכן:

מקסימום:

[math]\displaystyle{ \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}\cup \{(x,0)\mid x\gt 1 \or x\lt 0\} }[/math]

מינימום:

[math]\displaystyle{ \{(x,0)\mid 0\lt x\lt 1\} }[/math]

אוכף:

[math]\displaystyle{ \{(0,y)\}\cup\{(1,0)\} }[/math]