|
|
| שורה 2: |
שורה 2: |
|
| |
|
|
| |
|
| <math>f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)=x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3</math>
| | ==שאלה 2== |
| | |
| הגרדיאנט הוא:
| |
| | |
| <math>\nabla f = (3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3,2x^3y-2x^4y-3x^3y^2)</math>
| |
| | |
| אם נשווה אותו ל <math>(0,0)</math> ונקבל:
| |
| | |
| <math>3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3 = 0</math>
| |
| | |
| <math>2x^3y-2x^4y-3x^3y^2=0</math>
| |
| | |
| נקבל שאם <math>x=0</math> או <math>y=0</math> שתי המשוואות מתקיימות.
| |
| | |
| אם <math>x\neq 0 ,\quad y\neq 0</math>, נקבל שהמשוואות הן:
| |
| | |
| <math>3-4x-3y=0</math>
| |
| | |
| <math>2-2x-3y=0</math>
| |
| | |
| הפתרון של המערכת הזאת הוא:
| |
| | |
| <math>(\frac{1}{2},\frac{1}{3})</math>
| |
| | |
| ולכן כלל הנקודות הקריטיות הן:
| |
| | |
| <math>\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}</math>
| |
| | |
| עכשיו צריך לסווג
| |
| | |
| מטריצת ההסיאן היא:
| |
| <math>\begin{bmatrix}
| |
| 6xy^2-12x^2y^2-6xy^3 & 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 \\
| |
| 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 & 2x^3-2x^4-6x^3y
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| | |
| | |
| כמובן שהצבה של <math>x=0</math> או <math>y=0</math> לא תקדם אותנו יותר מדי.
| |
| | |
| אם נציב <math>(\frac{1}{2},\frac{1}{3})</math> נקבל (אם אין לי טעות חישוב):
| |
| <math>\begin{bmatrix}
| |
| \frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{9} & \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\
| |
| \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}
| |
| \end{bmatrix}
| |
| =
| |
| \begin{bmatrix}
| |
| -\frac{1}{9} & -\frac{1}{12} \\
| |
| -\frac{1}{12} & -\frac{1}{8}
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| | |
| | |
| המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום.
| |
| | |
| עכשיו צריך למיין ידנית את שאר הנקודות.
| |
| | |
| נתחיל בנקודות שעל ציר <math>y</math>.
| |
| | |
| נביט על נקודה כלשהיא <math>(0,y_0)</math>.
| |
| | |
| אם נתקדם לאורך הישר <math>y=-x+y_0</math> (שעובר כמובן ב <math>(0,y_0)</math>).
| |
| | |
| אז
| |
| | |
| <math>f(x,-x+y_0)=x^3(-x+y_0)^2(1-y_0)</math>
| |
| | |
| אם <math>y_0>1</math> אז הפונקציה שלנו שלילית כש <math>x>0</math> וחיובית כש <math>x<0</math>
| |
| | |
| אם <math>y_0<1</math> אז הפונקציה שלנו חיובית כש <math>x>0</math> ושלילית כש <math>x<0</math>
| |
| | |
| בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון.
| |
| | |
| נותר לבדוק את הנקודה <math>(0,1)</math>.
| |
| | |
| אם נתקדם לאורך הישר <math>y=1</math> נקבל ש
| |
| | |
| <math>f(x,1)=-x^4</math> ולכן <math>x=0</math> היא מקסימום לאורך הקו הזה.
| |
| | |
| אבל אם נתקדם לאורך הישר <math>y=-2x+1</math> נקבל ש
| |
| | |
| <math>f(x,-2x+1)=x^3(-2x+1)^2(x)=x^4(-2x+1)^2</math> נקבל ש <math>x=0</math> היא נקודת מינימום לאורך הקו הזה.
| |
| | |
| לכן <math>(0,1)</math> היא גם נקודת אוכף.
| |
| | |
| סיכום ביניים: כל ציר <math>y</math> הוא נקודות אוכף.
| |
| | |
| כעת נעבור לציר <math>x</math>.
| |
| | |
| כלומר נחקור נקודות מהצורה <math>(x_0,0)</math>.
| |
| | |
| אם <math>x_0>1</math> אז קיימת סביבה של <math>(x_0,0)</math> שבה <math>1-x-y<0</math> ולכן באותה סביבה מתקיים ש
| |
| | |
| <math>x^3y^2(1-x-y)\leq 0</math> ולכן <math>f(x_0,0)=0</math> היא נקודת מקסימום.
| |
| | |
| אם <math>0<x_0<1</math> אז קיימת סביבה שבה <math>1-x-y>0</math> ואז <math>x^3y^2(1-x-y)\geq 0</math> ולכן <math>(x_0,0)</math> היא מינימום
| |
| | |
| אם <math>x<0</math> אז קיימת סביבה שבה <math>1-x-y>0</math> ואז <math>x^3y^2(1-x-y)\leq 0</math> ולכן <math>(x_0,0)</math> היא מקסימום.
| |
| | |
| כבר ראינו שהנקודה <math>(0,0)</math> היא נקודת אוכף (היא על ציר <math>y</math>).
| |
| | |
| נותר לבדוק את הנקודה <math>(1,0)</math>.
| |
| | |
| נתקדם לאורך הישר <math>x=1</math> ונקבל <math>f(1,y)=-y^3</math> שזאת פונקציה עם נקודת פיתול ב <math>y=0</math>.
| |
| | |
| לכן <math>(1,0)</math> היא נקודת אוכף.
| |
| | |
| לסיכום:
| |
| | |
| נקודות קריטיות:
| |
| | |
| <math>\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}</math>
| |
| | |
| מתוכן:
| |
| | |
| מקסימום:
| |
| | |
| <math>\{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}\cup \{(x,0)\mid x>1 \or x<0\}</math>
| |
| | |
| מינימום:
| |
| | |
| <math>\{(x,0)\mid 0<x<1\}</math>
| |
| | |
| אוכף:
| |
| | |
| <math>\{(0,y)\}\cup\{(1,0)\}</math>
| |
