משתמש:איתמר שטיין: הבדלים בין גרסאות בדף
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף א) |
||
| שורה 4: | שורה 4: | ||
==שאלה 5== | ==שאלה 5== | ||
===סעיף א=== | ===סעיף א=== | ||
זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות. | |||
אם מחליפים | |||
<math>x=r\cos\theta\quad y = r\sin\theta</math> | |||
אז נקבל שהתחום החדש הוא <math>a\leq r\leq b</math> ו <math>0\leq\theta \leq 2\pi</math> | |||
הבעיה היחידה היא זה לא נכון להגיד ש <math>\arctan(\frac{y}{x})=\theta</math>. | |||
זה נכון רק כש <math>-\frac{\pi}{2}< \theta < \frac{\pi}{2}</math> | |||
בתחום <math>\frac{\pi}{2}<\theta <\frac{3\pi}{2}</math> מתקיים דווקא <math>\theta = \arctan(\frac{y}{x}) +\pi</math> | |||
ולכן נעדיף ש <math>\theta</math> יהיה בתחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}</math> ולא <math>[0,2\pi]</math> | |||
<math>\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r | |||
= | |||
\int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ | |||
\int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r | |||
</math> | |||
<math>= | |||
\int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \theta r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ | |||
\int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, (\theta -\pi) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r | |||
= | |||
\int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+ | |||
\int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r | |||
</math> | |||
גרסה מ־19:56, 9 בפברואר 2013
שאלה 5
סעיף א
זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות.
אם מחליפים
[math]\displaystyle{ x=r\cos\theta\quad y = r\sin\theta }[/math]
אז נקבל שהתחום החדש הוא [math]\displaystyle{ a\leq r\leq b }[/math] ו [math]\displaystyle{ 0\leq\theta \leq 2\pi }[/math]
הבעיה היחידה היא זה לא נכון להגיד ש [math]\displaystyle{ \arctan(\frac{y}{x})=\theta }[/math].
זה נכון רק כש [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}\lt \theta \lt \frac{\pi}{2} }[/math]
בתחום [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2}\lt \theta \lt \frac{3\pi}{2} }[/math] מתקיים דווקא [math]\displaystyle{ \theta = \arctan(\frac{y}{x}) +\pi }[/math]
ולכן נעדיף ש [math]\displaystyle{ \theta }[/math] יהיה בתחום [math]\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} }[/math] ולא [math]\displaystyle{ [0,2\pi] }[/math]
[math]\displaystyle{ \iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r }[/math]
[math]\displaystyle{ = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \theta r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, (\theta -\pi) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r = \int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r }[/math]