הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"
מתוך Math-Wiki
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף א) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 5) |
||
שורה 5: | שורה 5: | ||
===סעיף א=== | ===סעיף א=== | ||
+ | דרך א' לפתרון: | ||
+ | |||
+ | היות ו <math>\arctan(\frac{y}{x})</math> היא פונקציה אי זוגית לפי <math>y</math> (או <math>x</math>) והתחום שלנו סימטרי ביחס ל <math>y</math> (או <math>x</math>) אז האינטגרל הוא <math>0</math>. | ||
+ | |||
+ | דרך ב', חישוב: | ||
זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות. | זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות. | ||
שורה 21: | שורה 26: | ||
− | ולכן נעדיף ש <math>\theta</math> יהיה בתחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}</math> ולא <math>[0,2\pi]</math> | + | ולכן נעדיף ש <math>\theta</math> יהיה בתחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]</math> ולא <math>[0,2\pi]</math> |
<math>\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r | <math>\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r | ||
שורה 37: | שורה 42: | ||
\int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+ | \int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+ | ||
\int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r | \int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r | ||
+ | =0+0=0 | ||
</math> | </math> |
גרסה מ־16:48, 10 בפברואר 2013
שאלה 5
סעיף א
דרך א' לפתרון:
היות ו היא פונקציה אי זוגית לפי (או ) והתחום שלנו סימטרי ביחס ל (או ) אז האינטגרל הוא .
דרך ב', חישוב:
זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות.
אם מחליפים
אז נקבל שהתחום החדש הוא ו
הבעיה היחידה היא זה לא נכון להגיד ש .
זה נכון רק כש
בתחום מתקיים דווקא
ולכן נעדיף ש יהיה בתחום ולא