הבדלים בין גרסאות בדף "מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים"
מתוך Math-Wiki
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
שורה 5: | שורה 5: | ||
אזי מתקיים: | אזי מתקיים: | ||
− | <math> \int_a^{\infty} g(x) | + | <math> \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x </math> מתכנס <math> \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס |
− | <math> \int_a^{\infty} f(x) | + | <math> \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x </math> מתבדר <math> \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתבדר |
<font size=4 color=#a7adcd> | <font size=4 color=#a7adcd> | ||
שורה 13: | שורה 13: | ||
</font> | </font> | ||
− | קבע האם <math> \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} | + | קבע האם <math> \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} \mathrm{d}x </math> מתכנס או מתבדר |
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
שורה 20: | שורה 20: | ||
<math> \forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math> | <math> \forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math> | ||
− | <math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x} | + | <math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}\mathrm{d}x= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x \mathrm{d}x </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר. |
===מבחן ההשוואה הגבולי=== | ===מבחן ההשוואה הגבולי=== | ||
שורה 32: | שורה 32: | ||
'''אזי:''' | '''אזי:''' | ||
− | אם <math>L>0 , L\in\mathbb{R}</math> אז <math>\int_a^\infty f(x) | + | אם <math>L>0 , L\in\mathbb{R}</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> ו- <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים"). |
− | אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x) | + | אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס. |
− | אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x) | + | אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס. |
גרסה מ־12:00, 11 במאי 2013
אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון
מבחן ההשוואה הראשון
יהי , ותהי נק' כך שמתקיים .
אזי מתקיים:
מתכנס מתכנס
מתבדר מתבדר
דוגמא.
קבע האם מתכנס או מתבדר
פתרון. נשים לב כי היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:
ולכן
מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.
מבחן ההשוואה הגבולי
יהי , ותהיינה שתי פונקציות כך ש:
יהי הגבול:
אזי:
אם אז ו- מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").
אם אז מתכנס מתכנס.
אם אז מתכנס מתכנס.