הבדלים בין גרסאות בדף "88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 5"
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←המשך פונקציות) |
חיים רוזנר (שיחה | תרומות) (←המשך פונקציות) |
||
שורה 3: | שורה 3: | ||
==המשך פונקציות== | ==המשך פונקציות== | ||
− | '''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי <math>f(A)=\{f(a)|a\in A\}</math>, <math>f^{-1}(B)=\{a\in A|f(a)\in B\}</math>. | + | '''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי '''התמונה של A תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f(A)=\{f(a)|a\in A\}</math>, ו'''התמונה ההפוכה של B תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f^{-1}(B)=\{a\in A|f(a)\in B\}</math>. |
− | שימו לב | + | שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה <math>f^{-1}(B)</math> לבין הפונקציה ההופכית <math>f^{-1}(y)</math>. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא ''איבר'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו <math>y \in Y</math>) או שנמצאת ''תת-קבוצה'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זו <math>B\subseteq Y</math>). |
'''תרגיל.''' | '''תרגיל.''' | ||
− | הוכח/הפרך: | + | הוכח/הפרך: תהיינה <math>A,B \subseteq X</math> ותהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math>. אזי <math>f(A)\cap f(B)=f(A\cap B)</math> |
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
− | נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים <math>x\neq y </math> כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. ניקח <math>A=\{x\},B=\{y\}</math> אזי: | + | נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים <math>x\neq y </math> כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. ניקח <math>A=\{x\},B=\{y\}</math> אזי: |
<math>f(A)\cap f(B) = \{f(x)\} \neq \phi = f(\{\}) = f(A\cap B)</math> | <math>f(A)\cap f(B) = \{f(x)\} \neq \phi = f(\{\}) = f(A\cap B)</math> | ||
שורה 51: | שורה 51: | ||
1. ''' f על אמ"מ g חח"ע ''' | 1. ''' f על אמ"מ g חח"ע ''' | ||
− | בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A | + | בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A</math> |
− | בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי <math>\exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y</math> לכן <math>g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\}=g(Y/\{y\})</math> בסתירה לחח"ע של g. | + | בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי <math>\exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y</math> לכן <math>g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\})=g(Y/\{y\})</math> בסתירה לחח"ע של g. |
גרסה מ־21:04, 27 ביולי 2014
המשך פונקציות
הגדרה. תהי פונקציה, ויהיו תת קבוצות . אזי התמונה של A תחת f היא התת-קבוצה , והתמונה ההפוכה של B תחת f היא התת-קבוצה .
שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה לבין הפונקציה ההופכית . התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא איבר של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו ) או שנמצאת תת-קבוצה של התמונה (בדוגמאות לעיל זו ).
תרגיל.
הוכח/הפרך: תהיינה ותהי f פונקציה . אזי
פתרון.
נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים כך ש . ניקח אזי:
תרגיל.
תהי ותהי . הוכח . וקיים שיוויון אם חח"ע
פתרון.
יהא אזי ולכן .
נראה את ההכלה בכיוון השני אם חח"ע:
יהא לכן לכן . כיוון ש חח"ע נובע כי
תרגיל.
תהי ותהי . הוכח . וקיים שיוויון אם על
פתרון.
יהא כאשר ולכן .
נראה את ההכלה בכיוון השני אם על:
יהא כיוון ש f על לכן . ואז
תרגיל ממבחן (קצת משודרג).
יהיו שתי קבוצות, ותהי פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה על ידי . בדוק את הקשר בין החח"ע/על של f לבין אלה של g. (כלומר, מה גורר את מה בהכרח).
פתרון.
1. f על אמ"מ g חח"ע בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על)
בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי לכן בסתירה לחח"ע של g.
2. f חח"ע אמ"מ g על
בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה )
בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים שונים כך ש . נביט בנקודון
כיוון ש g על קיימת כך ש
לכן
ולכן
לכן כלומר . סתירה.
מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות:
- ייתכן ו-f חח"ע אך g אינה כזו (ניקח f חח"ע שאינה על אזי g אינה חח"ע לפי 1)
- יתכן ו-g חח"ע אך f אינה כזו. (ניקח g חח"ע שאינה על אזי f אינה חח"ע לפי 2)
- ייתכן ו-f על אך g אינה כזו (ניקח f על שאינה חח"ע אזי g אינה על לפי 2)
- ייתכן ו-g על אך f אינה כזו (ניקח g על שאינה חח"ע אזי f אינה על לפי 1)
אתם מוזמנים לתת דוגמאות למסקנות לעיל
למשל: יהיו . אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.
הגדרה.
תהי ותהי . הפונקציה f מצומצמת לA מוגדרת על ידי: כך ש .
דוגמא. נביט ב המוגדרת על ידי ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת כן חח"ע.
תרגיל.
תהי פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש חח"ע עם אותו טווח כמו הפונקציה המקורית (כלומר
פתרון.
נגדיר לכל את הקבוצה של המקורות שלו כעת נבחר מכל איבר יחיד /
נגדיר . כיוון שבחרנו מקור לכל תמונה ובחרנו מקור אחד אזי חח"ע עם אותו טווח של
אזהרה! ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
הגדרה. תהי , ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי f מוגדרת היטב על אם
כלומר אם a שקול ל b אזי /
למה זה טוב? כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה ע"י
באופן מפורש .
טענה: g אכן פונקציה
הוכחה:
1. g שלמה - לפי העיניים
2. g חד ערכית- נניח צ"ל וזה אכן מתקיים כי f מוגדרת היטב על קבוצת המנה.
דוגמא לחידוד
האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי מוגדרת היטב?
פתרון לא! כזכור הרציונאליים הם קבוצת מנה של . לפי היחס שהגדרנו מתקיים אבל לא מתקיים
במילים: לא ברור לאן f שולחת את השבר שליש!
הערה: בכוונה ניסחנו את התרגיל באופן הרומז על יחס השקילויות מבלי לומר אותו במפורש. זו הדרך בה נתקל במושג 'מוגדר היטב' במהלך התואר - יחס השקילויות יהיה מרומז בלבד.