שיחה:88-211 תשעד סמסטר א/תרגילים

תרגיל 1, שאלה 6

לגבי השאלה האחרונה, אני לא יודעת איך להוכיח את האיזומורפיות.

כלומר אני לא יודעת איזו פונקציה להגדיר כך שתתאים. גם איך לעשות אם אני לא יודעת מה זה (M,.)

הכוונה למונואיד הראשון שמופיע לא לשני.

אפשר לקבל כיוון? תודה

חשבתי אולי F(b)=ab

• תשובה: [math]\displaystyle{ (M, \cdot) }[/math] הוא מונואיד כלשהו, אנחנו גם לא צריכים לדעת מהו. באמצעות מונואיד זה, אנחנו מגדירים מונואיד חדש, [math]\displaystyle{ (M, * ) }[/math]. האיברים שלו הם אותם האיברים, אבל הפעולה שונה. על מנת להוכיח שהם איזומורפיים, יש להגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ F: (M,*) \rightarrow (M, \cdot ) }[/math]. הפונקציה הזאת צריכה להיות, קודם כל, הומומורפיזם (של מונואידים). כלומר היא צריכה לקיים [math]\displaystyle{ F(x*y)=F(x)\cdot F(y) }[/math] (שימו לב שהפעולה בשני האגפים היא שונה, בהתאם למונואיד שבו הפעולה מתבצעת).

בנוסף, היא צריכה להעביר את איבר היחידה של המונואיד הראשון לאיבר היחידה של המונואיד השני. אז גם אם לא מצליחים מיד לנחש את הפונקציה, זהו מקום טוב להתחיל. היזכרו שבתרגול כבר הראינו מיהו איבר היחידה של [math]\displaystyle{ (M,*) }[/math], אז תנסו לנחש פונקציה שתשלח אותו לאיבר היחידה של [math]\displaystyle{ (M,\cdot) }[/math]. --לואי 19:06, 21 באוקטובר 2013 (IDT)

תרגיל 1 שאלה 5

בתרגיל מוגדר כפל ב-S כאשר S היא הקבוצה עליה מוגדרת הפעולה. אני משער שהכוונה היא לכפל ב-s (קטנה), אם לא אז אשמח לדעת כיצד מוגדר כפל של איבר בקבוצה בקבוצה עצמה.

אם זו אכן טעות מקלדת אז יש לי שאלה אחרת... אם נתבונן בקבוצה {0,1} ונגדיר שכפל כל שני איברים בה יתן 0 נקבל חבורה למחצה שמקיימת את תנאי השאלה אבל אינה מונואיד- היכן הטעות שלי?

תודה

• תשובה: זהו אכן כפל של איבר בכל הקבוצה, והוא מוגדר באופן הבא: [math]\displaystyle{ aS=\{ ax: x\in S \} }[/math].--לואי 16:30, 22 באוקטובר 2013 (IDT)

שאלה כללית - תרגיל 3 שאלה 3

אז רציתי לדעת באופן כללי,איך את מחשבת את איברי החבורה שנוצרים ע"י איברים מסוימים.למשל,בשאלה 3 של ש.ב האחרונים,אני לא כ"כ הבנתי את מצאת את האיברים בחבורה(שני הסעיפים בכלל).איך עושים כדי כדי למצוא איברי חבורה בחהורות סימטריה?

• תשובה: אז קודם כל את שואלת גם על סעיף א', ואני לא בטוחה שאני מבינה את השאלה.... לגבי סעיף ב': החישוב שנעשה שם הוא חישוב ישיר של כל המכפלות. כלומר, אנחנו יודעים שהאיברים בחבורה הנוצרת על-ידי [math]\displaystyle{ a,b }[/math] הם מהצורה [math]\displaystyle{ a^ib^ja^k... }[/math] וכד'. אז קודם כל חישבנו את החזקות של כל אחד מהיוצרים (הראשון מסדר 2 והשני מסדר 3) ואז התחלנו להכפיל אותם (עם החזקות ובלי) משני הצדדים עד אשר ראינו שמיצינו את כל האפשרויות וניתן לעצור. כרגע, זו הדרך היחידה שלנו למצוא את האיברים בחבורות כאלה. --לואי (שיחה) 12:07, 11 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל 3, שאלה 2, סעיף ב'

מדוע מתקיים α^t=β^t =id? למה השיוון של החזקות מתקיים?

• תשובה: נניח שזה לא מתקיים. זה אומר ש- [math]\displaystyle{ \alpha^t }[/math] הוא ההופכי של [math]\displaystyle{ \beta^t }[/math]. אבל שימו לב שזה לא אפשרי, כי אם [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] זרים, אז גם כאשר מעלים אותם בחזקה הם נשארים זרים. ומחזורים זרים אינם יכולים להיות הופכי אחד של השני, שכן ההופכי של מחזור [math]\displaystyle{ (i_1 i_2 i_3 ... i_n) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ (i_n i_{n-1} ... i_2 i_1) }[/math].--לואי (שיחה) 12:03, 11 בנובמבר 2013 (EST)

המשך לשאלה שלי תרגיל 3 שאלה 3

סימני הדולר האלה עושים לי שחור בעיניים...בעצם את אומרת שמתקיים: α=(145)(263) וגם עבור β=(15)(36) אזי:

              α^3=id
              β^2=id 

שזה נכון,אני מסכימה. אבל גם מחשבים בנוסף

β,α,α^2,αβ,α^2*β,?

• תשובה: כן, מחשבים את כל האפשרויות האלה... ובקשר לסימני הדולר: ניסית לפתוח את האתר בדפדפן שונה? --לואי (שיחה) 06:49, 12 בנובמבר 2013 (EST)

שאלה תרגיל 3 סעיף א בשאלה 3

איך להסביר שהדוגמה לאיזומורפיזם זה אכן איזומורפיזם?זה לא טריוויאלי מכיוון שלכל איבר מתאים איבר אחר וכדומה?

בעצם לא משנה הבנתי למה.על זה טריוויאלי וזה חח"ע כי בהרכבה שתי החבורות או קבוצות לצורך העניין הן מסדר סופי עם מספר זהה של איברים

• תשובה: דווקא יש להסביר משהו אחר ממה שציינתם. נסמן לרגע את האיברים של חבורת קליין ב-[math]\displaystyle{ 1,a_1,a_2,a_3 }[/math]. ברור שהפונקציה שהגדרנו היא חח"ע ועל, אבל זה לא מספיק. מה שצריך להראות (ודווקא בכלל לא ברור מההגדרה של הפונקציה) זה שהיא למעשה הומומורפיזם. כלומר, יש להראות שמתקיים [math]\displaystyle{ f(a_1a_2)=f(a_1)f(a_2) }[/math] וכד'. --לואי (שיחה) 13:16, 15 בנובמבר 2013 (EST)

כלומר לדוגמה שמתקיים:

f((13)(24))* f((14)(23))=35=3(mod8 f((13)(24)(14)(23))=f((12)(34))=3(mod8

נכון?

• כן

כפל של שתי מטריצות בתרגיל 2 שאלה 3

האם אפשר לעשות את זה כך בסעיף א כדי להראות כי G תת חבורה?

ראינו את הכפל של שתי מטריצות שנמצאות ב-G בתרגיל 1 שאלה 4 וכמו כן גם את ההופכי. האם אפשר להסביר כי כל אחד מהאיברים שמעל האלכסון הראשי שייך ל-Zֹ3 כי שלוש האפשרויות לבחירת המספרים האלה (נניח d+a( תמיד תביא לכך שהסכום של זה יהיה 0 או 1 או 2 וכך הלאה? וכמובן לעשות זאת גם בהופכי?

• מקווה שהבנתי את השאלה, אם כי לא בטוח. אכן ראינו את רוב התכונות כבר בתרגיל 1. כדי להסביר שרכיבי המטריצות (לאחר מכפלה והיפוך) נמצאים ב-[math]\displaystyle{ \mathbb Z_3 }[/math] מספיק לומר שזו חבורה, ולכן סגורה לפעולה ולהופכי (הנגדי, במקרה של ההופכי שלנו). --לואי (שיחה) 05:23, 18 בנובמבר 2013 (EST)

הסבר מדוע יש רק תת חבורה אחת מסדר 5 ב-D5

הסבר הולם שאפשר לתת לכך שתת החבורה הנוצרת ע"י סיגמה היא היחידה מסדר 5 היא מכיוון שמיצינו את שאר האפשרויות?כלומר אין תת חבורה מסדר 5 עם איבר מהצורה של תאו סיגמה בחזקת ג"י כלשהו כי הם איברים של תת חבורות מסדר 2?

• כדי שתהיה לנו תת חבורה ציקלית מסדר 5, צריך שיהיה איבר מסדר 5. אבל כל האיברים מסדר 5 כבר נמצאים בתת החבורה שמצאנו (זו שנוצרת על-ידי הסיבוב).--לואי (שיחה) 02:38, 25 בנובמבר 2013 (EST)

שאלה 1 א', תרגיל 5

מדוע מתקיים [math]\displaystyle{ b(a/b+\mathbb Z)=a+\mathbb Z }[/math] זה לא אמור להיות שווה ל-[math]\displaystyle{ a+b \mathbb Z }[/math]? שכן [math]\displaystyle{ b \mathbb Z }[/math] אמורה להיות תת חבורה לא אבל אין שיווין ממש...

• תשובה: שימו לב שזו לא פתיחת סוגריים! זו פעולה בחבורת המנה! זה כתוב בכתיב חיבורי, אך בכתיב כפלי זה שקול ל:

[math]\displaystyle{ (aH)^b=a^bH }[/math]. כלומר, לא מעלים גם את [math]\displaystyle{ H }[/math] בחזקה, כי לא כך מוגדרת הפעולה על איברי חבורת המנה. --לואי (שיחה) 04:40, 1 בדצמבר 2013 (EST)

שאלה 5 א', תרגיל 5

לא הבנתי את המניע לאיזומורפיות של [math]\displaystyle{ D_4 / \lt \sigma\gt }[/math] ל- [math]\displaystyle{ \lt \sigma^2\gt }[/math]. האם זה נובע כי שתיהן מסדר 2?

• תשובה: בדיוק! הן מסדר 2, וכפי שמצויין בסוגריים - יש רק חבורה אחת (עד כדי איזומורפיזם) מסדר 2. --לואי (שיחה) 04:40, 1 בדצמבר 2013 (EST)

אם נניח הייתי רוצה להשתמש במשפט האיזומורפיזם השלישי , אז איך נעשה? הכוונה שלי לאיזומורפיות שאלה 5 סעיף א

• תשובה: בקשר לאיזומורפיזם שלישי, אולי התכוונת לאיזומורפיזם ראשון? אחרת אני לא מבינה את השאלה. ואם אכן הכוונה לאיזומורפיזם ראשון, אז מה השאלה? האם השאלה היא איך בונים את האיזומורפיזם?...--לואי (שיחה) 09:01, 3 בדצמבר 2013 (EST)

לא כ"כ הבנתי מה הפירוש של חבורה יחידה עד כדי איזומורפיזם... למה מה שקיבלנו לא יכול להיות איזומורפי ל-Z2 למשל?

• תשובה: "חבורה יחידה עד כדי איזומורפיזם" אומר שכל החבורות מסדר 2 איזמורפיות זו לזו. דוגמה נוספת לשימוש בביטוי זה: "יש שתי חבורות מסדר 6 עד כדי איזומורפיזם". הוכחנו שאכן יש רק 2, שהן הדיהדרלית והציקלית מסדר 6. אז למעשה הוכחנו שאם יש לנו חבורה מסדר 6, אז היא איזומורפית לאחת מהשתיים האלה. ובחזרה לשאלה: מה שקיבלנו כבר איזומורפי ל-[math]\displaystyle{ \mathbb Z_2 }[/math], אז בטח שהוא "יכול להיות איזומורפי ל...". --לואי (שיחה) 09:01, 3 בדצמבר 2013 (EST)

חשבתי על משפט האיזומורפיזם השלישי כי ראיתי באתר שנת תשע"ב בתרגילי כיתה איך אפשר להוכיח למשל שמתקיים ש-Z2 איזומורפי למנה של Z6/3Z6 באמצעות איזו 3.אז רציתי לדעת באופן אם אפשר לעשות זאת כאן.אך אם את אומרת שאפשר בעזרת איזו 1 אז איך את יכולה להוכיח שאכן מתקיים האיזומורפיות הזאת כלומר איך תבני אותו כן :)

• תשובה: אז קודם כל, אפשר לקבל הפניה לסיכומי ההרצאות האלה של שנת תשע"ב? כי אני ממש לא מבינה מה עושה שם איזו' 3!... לגבי איך עושים את זה דרך איזו' 1: נגדיר הומומורפיזם [math]\displaystyle{ f: D_4 \rightarrow \lt \sigma^2\gt }[/math] על-ידי (למשל) [math]\displaystyle{ f(id)=f(\sigma)=f(\sigma^2)=f(\sigma^3)= id }[/math] ואת שאר האיברים נשלח ל-[math]\displaystyle{ \sigma^2 }[/math]. קל לראות שהגרעין הוא בדיוק [math]\displaystyle{ \lt \sigma\gt }[/math] ולפי איזו' 1 מתקיים הדרוש. --לואי (שיחה) 09:09, 4 בדצמבר 2013 (EST)

• המשך תשובה: קודם כל, זה צריך להיות "[math]\displaystyle{ \mathbb Z_3 }[/math] איזומורפי ל-[math]\displaystyle{ \mathbb Z_6 / 3\mathbb Z_6 }[/math]" ולא [math]\displaystyle{ \mathbb Z_2 }[/math]. שנית, זו לא הוכחה, אלא דרך להראות איך "מציבים" דברים בתוך משפט איזו' 3. שכן כל שלב בתוך ההצבה הזאת דורש הוכחה נפרדת (רוב השלבים לפי איזו' 1). --לואי (שיחה) 04:17, 5 בדצמבר 2013 (EST)

שאלה של התרגול הקודם וקשורה גם לתרגיל 7

הייתה שאלה בתרגול כאשר דיברנו על מחלקות צמידות, למצוא את מספר התמורות הצמודות ל- (78)(56)(1234) וכתבת שהתשובה הינה (1 2)(2 4)*3!(4 8) כל זה כפול חצי. אז כנראה לא הבנתי למה הכפל ב3! והחילוק בשתיים

• תשובה: אז קודם צריך לבחור מחזור באורך 4. יש 8 מעל 4 אפשרויות לבחור ארבעה מספרים, ואז צריך לסדר אותם במעגל (כי תמורה זה כמו מעגל: מתקיים

(1234)=(2341)=(3412)=(4123)...) ובאופן כללי יש [math]\displaystyle{ (n-1)! }[/math] דרכים לסדר [math]\displaystyle{ n }[/math] פריטים במעגל. לגבי "חלקי 2": זה בגלל שאין חשיבות לסדר של המחזורים מאורך 2, כי מבחינת הצמידות, הם נמצאים באותה מחלקה. --לואי (שיחה) 03:39, 9 בדצמבר 2013 (EST)

המשפט הקטן של פרמה. כמה שאלות בנוגע לשלבים בהוכחה שלו

המשפט הקטן של פרמה אומר שלכל מספר ראשוני [math]\displaystyle{ p }[/math] ולכל מספר שלם [math]\displaystyle{ a }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ a^{p}\equiv a(mod p) }[/math] וזה שקול ללהגיד: [math]\displaystyle{ p|a^{p}-a }[/math].

הוכחה:

[math]\displaystyle{ p }[/math] ראשוני ולכן [math]\displaystyle{ \phi (p)=p-1 }[/math].

(אני רוצה לוודא שהבנתי למה השורה האחרונה נכונה:

[math]\displaystyle{ \phi p }[/math] מוגדר להיות מספר המספרים הטבעיים שקטנים ממש מ-[math]\displaystyle{ p }[/math] ושזרים ל-[math]\displaystyle{ p }[/math].

[math]\displaystyle{ p }[/math] ראשוני ולכן כל המספרים שקטנים ממנו, זרים לו.

למשל עבור [math]\displaystyle{ p=7 }[/math] נקבל ש- [math]\displaystyle{ \phi (7)=|\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}|=7-1=6 }[/math].

האם הבנתי נכון?)

המשך הוכחה:

לכן [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{p}-\left \{ 0 \right \} }[/math] היא מסדר [math]\displaystyle{ p-1 }[/math].

(שאלה: [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{p}-\left \{ 0 \right \} }[/math] היא חבורה ביחס לכפל מודולו [math]\displaystyle{ p }[/math] או חיבור מודולו [math]\displaystyle{ p }[/math] ??? )

המשך הוכחה:

לפי משפט אוילר, אם [math]\displaystyle{ (a,p)=1 }[/math] אז [math]\displaystyle{ a^{p-1}\equiv 1(modp) }[/math].

לאחר כפל שניי אגפי המשוואה ב-[math]\displaystyle{ a }[/math] יוצא ש

[math]\displaystyle{ a^{p}\equiv a(modp) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ (a,p)=1 }[/math].

איך ממשיכים את ההוכחה עבור המקרה ש- [math]\displaystyle{ (a,p)\neq 1 }[/math] ????

שאלה

בהינתן חבורה G ותת חבורה H, מתקיים שכל המחלקות של H הן שוות עוצמה? כלומר הן מאותו סדר?

תמורות

[math]\displaystyle{ G=S_{3} }[/math].

כלומר ב-[math]\displaystyle{ G=G=\left \{ \begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 1 &2 &3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 1 &3 &2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &3 &1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 3 &1 &2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 3 &2 &1 \end{pmatrix} \right \} }[/math]

למה [math]\displaystyle{ H=\lt (1,2)\gt }[/math] היא תת חבורה של [math]\displaystyle{ G }[/math] ? למה זו בכלל תת קבוצה של [math]\displaystyle{ G }[/math]???

מי האיברים של [math]\displaystyle{ H }[/math] ???

שאלה לגבי המושג "מוגדר היטב"

בהינתן חבורה [math]\displaystyle{ G }[/math] ותת חבורה [math]\displaystyle{ H }[/math] , מגדירים את חבורת המנה

[math]\displaystyle{ G\H }[/math] שהיא אוסף הקוסטים השמאליים של [math]\displaystyle{ H }[/math] ב-[math]\displaystyle{ G }[/math].

כעת, רוצים להגדיר פעולה על האיברים באוסף הזה (שהאיברים האלה הם למעשה קבוצות).

בחרו להגדיר את הפעולה כך: עבור שניי איברים בחבורת המנה: [math]\displaystyle{ g1H,g2H }[/math] מגדירים פעולה באופן הבא:

[math]\displaystyle{ (g1H)(g2H)g1g2H }[/math].

כעת שואלים הם הכפל הזה מוגדר היטב.

יש לי כמה שאלות:

1. לא הבנתי מה זה אומר בכלל המושג "מוגדר היטב".

2. באילו מצבים צריך לבדוק האם פעולה "מוגדרת היטב".

3. למה חשוב לבדוק האם פעולה "מוגדרת היטב".

4. מבחינה טכנית, איך בודקים האם פעולה מוגדרת היטב? למשל בשאלה הספציפית הזו, איך אני בודק אם הפעולה מוגדרת היטב?

אודה על העזרה.

שאלה

[math]\displaystyle{ G=\mathbb{Z} }[/math] ו- [math]\displaystyle{ H=n\mathbb{Z} }[/math].

[math]\displaystyle{ H }[/math] תת חבורה נורמלית של [math]\displaystyle{ G }[/math] כי [math]\displaystyle{ G }[/math] אבלית.

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\left \{ a+n\mathbb{Z}:a\in \mathbb{Z} \right \} =\left \{ n\mathbb{Z},1+n\mathbb{Z},2+n\mathbb{Z},... \right \} }[/math]

לכן האיברים בחבורה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} }[/math] הם מהצורה:

[math]\displaystyle{ s+n\mathbb{Z} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ 0\leq s\leq n-1 }[/math].

כעת, מבצעים פעולת חיבור על שניי איברים [math]\displaystyle{ (s1+n\mathbb{Z}) , \left ( s2+n\mathbb{Z} \right ) }[/math] של חבורת המנה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} }[/math].

מה שלא ברור לי זה למה תוצאת החיבור היא: [math]\displaystyle{ (s1+n\mathbb{Z}) + \left ( s2+n\mathbb{Z} \right )=(s1+t1)(modn)+n\mathbb{Z} }[/math]

ולא [math]\displaystyle{ (s1+n\mathbb{Z}) + \left ( s2+n\mathbb{Z} \right )=(s1+t1+2n\mathbb{Z})(modn) }[/math]

??

לא אמורים לחבל ובסוף, על התוצאה של החיבור הרגיל, לעשות מודולו [math]\displaystyle{ n }[/math]?

ושאלה שנייה:

למה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}n }[/math]