שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעד

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

שאלה על תרגיל 1 מהמערכת של moodle

אני נכנסתי אל תוך המערכת ורציתי לראות אילו תרגילים קיבלנו בתור ש"ב כאשר שנכנסתי בפעם השנייה לתרגיל1 המערכת אומרת ומציעה אופצייה "המשך את הניסיון האחרון " השאלה שלי היא אם אני אלחץ על הכפתור-אני לא יוכל יותר להיכנס כמה פעמיים שאני ארצה עד לפני סוף הגשה? אשמח לתשובה

• אתה יכול להיכנס כמה פעמים שאתה רוצה עד שאתה מגיש.

כשאתה מגיש את התרגיל המערכת מודיעה לך בצורה ברורה שזו הגשה סופית ולא תוכל לשנות יותר ושואלת אותך האם אתה בטוח שאתה רוצה להגיש.

חוץ מזה, את תרגיל 1 ספציפית המערכת נותנת לכם להגיש כמה פעמים שאתם רוצים - בדיוק בשביל זה. אל תפחדו לעשות טעויות השבוע, תשחקו עם המערכת כדי להכיר אותה.

--איתמר שטיין 10:10, 15 באוקטובר 2013 (IDT)

הארכת מועד ההגשה באינפי

שלום,

אני תלמיד של ד"ר הורוביץ שלא הספיק להשלים את שיעורי הבית במועד שצוין (29/10 18:00). במהלך סוף השבוע , אתר ה"מודל" היה מושבת וכתוצאה מכך רבים נאלצו להמתין, דבר שגזל את זמן הכנת השיעורים. בנוסף, תרגילי הבית של המרצים האחרים (ביתן ואגרונובסקי) הוארכו לעוד מספר ימים.

לאחראים על האתר , אנא מכם האריכו את מועד ההגשה לעוד מספר ימים.

תודה

שתיי שאלות

1. למה בין כל שניי מספרים, קיים מספר רציונלי? 2. איך מוכיחים שלכל מספר ממשי x, קיימת סדרת רציונליים שמתכנסת אליו? ולמה ניתן לבחור את הסדרה עולה או יורדת?

תודה מראש!!!!

• תשובה:

1. זה לא משפט טריוויאלי. מוכיחים אותו עם עקרון ארכימדס.

בסיכומי הרצאות שנמצאות כאן עקרון ארכימדס מופיע בסוף ההרצאה הראשונה וההוכחה לטענה מופיעה בתחילת ההרצאה השניה.

אם יש דברים לא ברורים בהוכחה שם תשאל שוב ואני אענה.

2. אחרי שאתה כבר יודע שבין כל שני מספרים קיים מספר רציונאלי אתה עושה ככה: נניח ש [math]\displaystyle{ x }[/math] זה המספר הממשי שלנו. אז קיים מספר רציונאלי [math]\displaystyle{ x\leq q_1 \leq x+1 }[/math] זה האיבר הראשון של הסדרה.

עכשיו נבחר מספר רציונאלי [math]\displaystyle{ q_2 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x \leq q_2 \leq x+ \frac{1}{2} }[/math] זה האיבר השני.

וכך הלאה נבחר את [math]\displaystyle{ q_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x \leq q_n \leq x+ \frac{1}{n} }[/math].

אז נקבל שהסדרה [math]\displaystyle{ q_n }[/math] היא סדרה של רציונאלים שמתכנסת ל [math]\displaystyle{ x }[/math].

אפשר להכריח את הסדרה להיות יורדת, אם למשל בוחרים

[math]\displaystyle{ x+\frac{1}{2} \leq q_1 \leq x+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ x+\frac{1}{3} \leq q_2 \leq x+\frac{1}{2} }[/math]

וכן הלאה

[math]\displaystyle{ x+\frac{1}{n+1} \leq q_n \leq x+\frac{1}{n} }[/math].

ובדומה אפשר להכריח אותה להיות עולה אם בוחרים

[math]\displaystyle{ x-\frac{1}{n} \leq q_n \leq x-\frac{1}{n+1} }[/math].

מקווה שזה ברור --איתמר שטיין (שיחה) 06:32, 7 בנובמבר 2013 (EST)

תודה רבה על התשובה...בכל אופן יש לי שאלה לגבי ההוכחה שהצעת כאן. בהחלט נראה שהסדרות שנתת כאן מתכנסות ל-x. אבל לא אמורים להוכיח את זה איכשהו? מה שכתבת מהווה הוכחה? כי זה נראה לי כמו לטעון שהסדרה 1 חלקי n מתכנסת ל-0, מבלי להוכיח זאת. אפשר להוכיח את מה שכתבת איכשהו? זו צריכה להיות הוכחה בכתיב אפסילון, לא?

• תשובה: נכון. זה לא מהווה הוכחה שזה מתכנס. כדי להוכיח צריך באמת להשתמש בכתיב [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] וכו'. אבל את זה קל לעשות במקרה הזה.

בשלב מסוים נתחיל להשמיט טיעונים כאלה שקל להשלים.--איתמר שטיין (שיחה) 07:33, 11 בנובמבר 2013 (EST)

ש"ב

אני תלמיד של ד"ר ביתן ובתשובות בשיעורי הבית מספר 3 רשמתי בתשובה 1- והוא רשם לי טעות ושהתשובה הנכונה היא -1 האם אפשר בבקשה לתקן לי את הציון?

• כן, תשלח לי מייל (Steinita@walla.com) עם השם שלך וכתובת המייל שאיתה נרשמת ל moodle.

בפעם הבאה תלחץ LeftCntrl+Shift לפני הזנת תשובה מספרית כדי שזה יהיה משמאל לימין.

--איתמר שטיין (שיחה) 01:05, 8 בנובמבר 2013 (EST)

שאלה לגבי הוכחת המשפט : מתכנסת ==>חסומה

הוכחתי את המשפט כך: נניח an מתכנסת לגבול L

לכן לכל e>o קיים n0 טבעי כך שלכל n>n0 :

zz |an-L|<e zz לכן zz L-e<an<L+e zz.

ניקח את zz M = max{a1,a2,...,an0,L+e} zz ו- zz m = min{a1,a2,...,L-e} zz

לכן לכל n טבעי מתקיים: zz m<an<M zz.

ראיתי פתרון לשאלה הזו שבה בחרו את אפסילון להיות 1.

( זה הפתרון: http://math-wiki.com/images/2/21/Sol3Infi12011.pdf#page=1&zoom=auto,0,810 )

בהוכחה שלי, כפי שניתן לראות, לא בחרתי אפסילון ספציפי.

הבדל נוסף בין הפתרון שלי לפתרון המצורף, הוא שכתוב שם, "קיים n0 כך ש...", ואז כתוב: "ניקח n1>n0...".

גם את זה לא עשיתי...עבדתי רק עם n0.

האם ההבדלים שניי ההבדלים הללו בין הפתרון שלי לפתרון המצורף הם הבדלים מהותיים? או שגם הפתרון שלי קביל?

אם יש משמעות להבדלים הללו, אשמח להסבר.

לגבי n1 שהופיע שם נראה לי שהוא פשוט נובע מכך שהגדרת הגבול שהתייחסו אליה שם היא .... לכל [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] ולא גדול או שווה. בהנחה שעובדים עם ההגדרה השקולה להתכנסות שבה יש גדול או שווה אפשר לעבוד רק עם n0.

לגבי השאלה השניה קבוצה היא חסומה אם קיים.... לאור העובדה שבהגדרת הגבול יש את העניין של לכל אפסילון צריך לבחור אפסילון מסויים זה יכול להיות אחד וזה יכול להיות אפסילון שרירותי אבל מה שבטוח משתמשים כאן בכך שאם טענה מסוימת מתקיימת לכל איבר בקבוצה לא ריקה אז קיים איבר בקבוצה שהטענה מתקיימת לגביו. לצורך הענין אם בהגדרת הגבול היה רשום לכל אפסילון ששייך לקבוצה מסוימת ולא היה ברור אם הקבוצה ריקה או לא אי אפשר היה לעבור מטענת לכל לטענת קיים. בקיצור 1 לא חשוב אבל צריך להגיד משהו על המעבר בין לכל לקיים.--מני (שיחה) 11:57, 10 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל-רוני ביתן:ההוכחה בין שאלה 8 לשאלה 9

האם זה לא נובע ישירות ממשפט בולצאנו ווירשטראס?

• לא שאני רואה. אני אסביר שוב מה הטענה אומרת: ברור שקבוצת הגבולות החלקיים חסומה. ולכן ברור שיש לה חסם עליון ותחתון

אבל זה בכלל לא ברור למה החסמים העליון והתחתון עצמם הם גבולות חלקיים (למה שתהיה סדרה שמתכנסת אליהם?)--איתמר שטיין (שיחה) 07:41, 11 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל 4 של רוני ביתן שאלה 10

ניסיתי לשלול אפשרויות בעזרת מקרה פרטי של סדרה מתכנסת,האם קיימת דרך של הוכחה המסתמכת על המשפטים שלמדנו?

• לשלול אפשרויות בעזרת מקרים פרטיים זה רעיון טוב. אבל כל טענה נכונה שיש בתרגילי הבית - אפשר להוכיח אותה ישירות בעזרת הכלים שיש לכם (בלי להסתמך על זה ששוללים את כל האחרים).--איתמר שטיין (שיחה) 07:36, 11 בנובמבר 2013 (EST)

-אני אנסח מחדש,מהי דרך ההוכחה לתרגיל הזה,מה הפתרון כביכול

• תשובה: נראה לי שהכי נוח לחשוב על זה בצורה טופולגית.

אתה יודע שגבולות חלקיים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] זה נקודות הצטברות של הקבוצה. הגבול החלקי העליון זאת נקודת ההצטברות הכי גדולה.

לקחת את [math]\displaystyle{ -a_n }[/math] זה פשוט לעשות שיקוף סביב [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. ואז קל להבין מה יוצא הגבול העליון של [math]\displaystyle{ a_n }[/math].

מה שכתבתי כאן זה לא הוכחה כמובן, רק האינטואיציה - הוכחה מלאה תופיע בתשובות על התרגיל.--איתמר שטיין (שיחה) 03:33, 15 בנובמבר 2013 (EST)

דיוק אחרי הנקודה העשרונית בכתיבת תשובות

בתרגיל החמישי של ד"ר ביתן יש מספר גבולות שהם חזקות של e, שאחד מהם יוצא מספר הקטן מ-0.01 וכתוב דיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה, אז פשוט לכתוב 0? --Omer rosler (שיחה) 15:19, 17 בנובמבר 2013 (EST)

• תשובה: אם יוצאת לך תשובה קטנה מ [math]\displaystyle{ 0.01 }[/math] אז גם [math]\displaystyle{ 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ 0.01 }[/math] יתקבלו ע"י המערכת.--איתמר שטיין (שיחה) 01:01, 18 בנובמבר 2013 (EST)

האם מבחני ההתכנסות דו כיווניים?

למשל,אם ידוע שטור An מתכנס אז האם אני יכול לאמר שהגבול של |An+1\An| קטן מ1?(לפי מבחן דלמבר)

• לא, למשל [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} }[/math] מתכנס אבל הגבול של [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} }[/math] הוא 1.--איתמר שטיין (שיחה) 01:02, 18 בנובמבר 2013 (EST)

קריטריון קושי להתכנסות סדרה

האם אני יכול לעשות בקריטריון קושי על נוסחת נסיגה רדוקציה של |Am-An| ל|An+1-An|? מכיוון שm תמיד גדול או שווה לn+1 (עבור m גדול מn(

• אם הבנתי אותך נכון - אז כן.

במילים אחרות: אם אתה יודע שקריטריון קושי מתקיים. אתה יודע גם שלכל [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] , החל משלב מסוים בסדרה מתקיים [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\lt \epsilon }[/math].

אבל: ההפך לא נכון. אם אתה יודע שלכל [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] , החל משלב מסוים בסדרה מתקיים [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\lt \epsilon }[/math] - זה לא אומר שקריטריון קושי מתקיים וזה לא אומר שהסדרה מתכנסת.--איתמר שטיין (שיחה) 01:06, 18 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל 6 של רוני ביתן שאלה 1

השאלה הזו הופיעה בתרגיל הקודם עבור טור חיובי,אפשרי להשתמש במה שידוע לנו על הטור החיובי לגבי הטור הכללי?(האם קיימת דרך הוכחה כזו)

• אתה יכול להניח שאתה יודע שזה נכון עבור טורים חיוביים. אבל שים לב שזה נכון עבור טורים חיוביים לפי מבחן ההשוואה.

ומבחן ההשוואה לא עובד בשביל טורים כללים.--איתמר שטיין (שיחה) 03:57, 19 בנובמבר 2013 (EST)

שאלה

נתון: [math]\displaystyle{ \lim_{n-\gt \infty}a_n{}=a }[/math] הוכח: [math]\displaystyle{ \lim_{n-\gt \infty}\sqrt{a_n{}}=\sqrt{a} }[/math].

ארשום את ההוכחה. יש לי שאלה לגבי מעבר מסוים בהוכחה:

[math]\displaystyle{ \left | \sqrt{a_n{}} \right -\sqrt{a}|=\left | (\sqrt{a_n{}}-\sqrt{a})(\sqrt{a_n{}} }[/math]

משום מה זה לא ממיר לי את מה שכתבתי לשפה מתמטית..

• כי יש לך טעות. נראה לי שזה מה שרצית.

[math]\displaystyle{ \left | \sqrt{a_n{}}  -\sqrt{a}|=\right | (\sqrt{a_n{}}-\sqrt{a})(\sqrt{a_n{}} }[/math]

--איתמר שטיין (שיחה) 02:06, 24 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל 6 של רוני ביתן שאלה 13

האם הכוונה בתרגיל ל !(2n) כלומר ...(2n)*(2n-1)*(2n-2) או לפעמיים !n ?

• הכוונה [math]\displaystyle{ (2n)! }[/math] - תיקנתי גם בתרגיל. תודה.--איתמר שטיין (שיחה) 02:03, 24 בנובמבר 2013 (EST)

איך אני עושה קו שבר ב-latex הזה?

איך אני עושה קו שבר ב-latex הזה?

• {מכנה}{מונה}frac\

למשל [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math]. --איתמר שטיין (שיחה) 14:22, 25 בנובמבר 2013 (EST)

שאלה

איפה אפשר למצוא תרגילים כהכנה לבוחן?

• תשובה: קיבצתי כאן קישורים לבחנים משנים קודמות שנמצאים ב math-wiki (חלק מהם זה פתרונות).

http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%92/%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%99%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%93%D7%9E%D7%97/%D7%91%D7%95%D7%97%D7%9F_%D7%9C%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90

http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%92/%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%99%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%9F/%D7%91%D7%95%D7%97%D7%9F_%D7%9C%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90

http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%95%D7%97%D7%9F_1_-_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_-_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%A1%D7%99%D7%98%D7%99%D7%9D_-_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%92

http://www.math-wiki.com/images/7/70/11Infi1CSBohan1.pdf

http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%93%D7%9E%D7%97/%D7%A4%D7%AA%D7%A8%D7%95%D7%9F_%D7%91%D7%95%D7%97%D7%9F_1

http://www.math-wiki.com/images/f/fc/11Infi1CSBohan2.pdf

http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%93%D7%9E%D7%97/%D7%A4%D7%AA%D7%A8%D7%95%D7%9F_%D7%91%D7%95%D7%97%D7%9F_2

http://www.math-wiki.com/images/2/23/10Infi1Bohan.pdf

http://www.math-wiki.com/images/6/6b/10Infi1BohanSol.pdf

בנוסף יש את ספר אינפי של בועז צבאן שמכיל הרבה תרגילים לא טריוויאלים

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/infi.pdf

המייל של איתמר לגבי הבוחן

לא קיבלתי את המייל של איתמר על הבוחן,תוכל לשלוח לי אותו שוב? kod404@walla.com

• תשובה: אני מניח שאתה מקבוצת התיכוניסטים? כל מה שכתבתי במייל כתוב כאן בהודעות.--איתמר שטיין (שיחה) 03:12, 3 בדצמבר 2013 (EST)

שאלה

1. כיצד אני מחשב את סכום הטור הבא:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^{\infty }0.18^i }[/math]??

2. מה בדיוק הנוסחה לסכום סדרה הנדסית?

3. כיצד הנוסחה משתנה כאשר הסכימה מתחילה החל מ-[math]\displaystyle{ i }[/math] שגדול מ-0?

• הנוסחא לסכום סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה הוא [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] מנתה [math]\displaystyle{ q }[/math] ויש בה [math]\displaystyle{ n }[/math] איברים היא:

[math]\displaystyle{ a_1\frac{1-q^n}{1-q} }[/math]. ולכן הנוסחא לסכום טור הנדסי מתכנס (כלומר כאשר [math]\displaystyle{ |q|\lt 1 }[/math]) היא [math]\displaystyle{ a_1\frac{1}{1-q} }[/math].

במקרה שאתה הצגת [math]\displaystyle{ q=0.18 }[/math] ו [math]\displaystyle{ a_1=1 }[/math]. אם מתחילים לסכום ממספר אחר זה משנה את [math]\displaystyle{ a_1 }[/math].

--איתמר שטיין (שיחה) 02:57, 9 בדצמבר 2013 (EST)

תרגיל 7 שאלה 6 דר' הורוביץ

בפתרון במודל כתוב שהטור [math]\displaystyle{ \sum (-1)^{n+1}\cdot \frac{1}{n+(-1)^{n}} }[/math] מתכנס בהחלט אבל ממבחן ההשוואה יצא לי ש- [math]\displaystyle{ \sum \frac{1}{n+(-1)^{n}} }[/math] גדול\שווה [math]\displaystyle{ \frac{1}{n+1} }[/math] שמתבדר ולכן הטור המקורי לא מתכנס בהחלט. האם ייתכן שיש טעות בתשובות? תודה

נכון מאוד. אכן יש טעות וטוב שאתם עוקבים. הטור כמובן מתכנס בתנאי אבל לא בהחלט. --מני (שיחה) 14:28, 14 בדצמבר 2013 (EST)

גבול בנקודה

אם מימין להפוגציה יש גבול שהוא אינסוף ומשמול יש מינוס אנסוף זה נחשב שאין גבול או שיש גבול?

• אין גבול.--איתמר שטיין (שיחה) 08:54, 29 בדצמבר 2013 (EST)

שאלה

שלום, קוראים לי דניאל טל ואני תלמיד של ד"ר הורוביץ ושכחתי את המחברת שלי בכיתת התרגול של לואי, יכול להיות שלואי ראתה את המחברת ולקחה אותה?

תרגיל 10 (ד"ר ביתן), שאלה 2

שלום, כשכותבים בשאלה "קטע I", האם מתכוונים בהכרח לקטע סופי או שיכול להיות שהכוונה גם לקטע אינסופי? תודה ושבת שלום.

• יכול להיות גם קטע אינסופי--איתמר שטיין (שיחה) 12:43, 11 בינואר 2014 (EST)

הפתרון של שאלה 2 בתרגיל 9 של ד"ר ביתן

כתוב בפתרון שהגבול של [math]\displaystyle{ \frac{ln(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}} }[/math] כאשר x שואף לאינסוף הוא 1, וזה לא נכון הגבול הוא 0 והפתרון של התרגיל הוא e^0=1 במקום e^0.5 כפי שכתבתם (ניתן גם לבדוק את זה בקלות) --Omer rosler (שיחה) 16:22, 10 בינואר 2014 (EST)

• צודק. טעות טפשית שלי. אני אתקן את זה ואשנה את הציונים.--איתמר שטיין (שיחה) 12:51, 11 בינואר 2014 (EST)

תוקן--איתמר שטיין (שיחה) 04:19, 12 בינואר 2014 (EST)

באיזה תאריך המבחן??

תודה...

• עד כמה שאני זוכר 14.2 בשעה 8:30. - אתה יכול לבדוק במידע אישי לסטודנט--איתמר שטיין (שיחה) 04:24, 23 בינואר 2014 (EST)

מבנה המבחן

מה יהיה המבנה של המבחן ? וכמה שאלות יהיו?

תשובה: במבחן יש 6 שאלות ללא בחירה. כל שאלה שווה 18 נקודות. יש צורך לדעת לנסח ולהוכיח את המשפטים מהרשימה שלכם.

שאלה אחת היא מתוך תרגילי הבית.

--איתמר שטיין (שיחה) 03:03, 3 בפברואר 2014 (EST)

מאגר המבחנים של המחלקה למתמטיקה

מאיזושהי סיבה הוא לא עובד הוא כל הזמן כותב page not found

• כנראה השרת של ארז נפל. הוספתי שם קישור למאגר דרך הספרייה.--איתמר שטיין (שיחה) 03:49, 3 בפברואר 2014 (EST)

מה עם ציוני התרגיל לקבוצה של ד"ר ביתן ?

כותרת

תרגיל 10 של דר ביתן שאלה 1

יש טעות בפתרון,הנגזרת של X^X היא (x^x)*(lnx+1) ולא כפי שרשום

הוכחת מבחן קושי להתכנסות טורים

להוכחת משפטים במבחן של התיכוניסטים,האם צריך ללמוד בהע"פ רק את ההוכחה עבור טורים חיוביים או שצריך גם לדעת להכליל את זה לטורים כלליים?

הוכחת משפט ערך הביניים של קושי

למבחן של התיכוניסטים,האם צריך לדעת להוכיח רק את משפט ערך הביניים של קושי או שזה כולל גם את משפט ערך הממוצע המוכלל?