בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ {n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!} }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

שאלות

שאלה 7

כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

A^2 יח"ש

צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-[math]\displaystyle{ A^2 }[/math] הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -אור שחף, שיחה, 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאליAdam Chapman 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלה 3א בתרגיל 3

נאמר שf היא פונקציה מ-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math], אבל 0 אינו איבר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] (אבל איבר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה. לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.

בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא כן טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה היא מספר טבעי). -אור שחף, שיחה, 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.

שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.

האם הכוונה בz5 היא המודולו?

אכן.

הרכבת יחסים

אם R הוא יחס שקילות, אז R הרכבה R יתן לי את R?

לא בהכרח, ראה את: הרכבת יחסים

את/ה בטוח/ה? כי הדוגמא שארז נתן היא כאשר R הוא לא שקילות. ולפי מה שעשיתי שהרכבתי R יחס שקילות על R קיבלתי את אותו הR...

סליחה, לא שמתי לב לקטע שהיחס הוא יח"ש. אבל בוא נאמר ככה - אם הדרך שלך נכונה אז התשובה תהיה נכונה... האם עשית את זה עבור R מסוים או עבור כל R שהוא?

בנתיים עשיתי את זה רק עם דוגמאות מסוימות.. אבל אני חושבת שאפשר להוכיח את זה איכשהו...

נראה לי שאפשר, אם אני אספיק אני אשב על זה מחר ואנסה להוכיח/להפריך, ואנסה גם להעלות לכאן.

אוקיי תודה :)

את לא צריכה לדחות את זה למחר, זה יותר פשוט ממה שאת חושבת. יצא לי 3 שורות (כאשר יש מעבר שורה לפני כל [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math]). -אור שחף, שיחה, 21:59, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

אני אתה, וחוץ מזה דחיתי למחר כי כרגע יש לי דברים חשובים יותר לעשות, ביניהם לעשות הפסקה קצרה...

שאלה 8 א

איך יכול להיות שמיחס על השלמים ללא 0 (כלומר גם השליליים), יתקבל יחס סדר חלקי על [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math], הרי הזוג (4,2-) שייך לR אבל הוא לא חלק מיחס חלקי על [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math], כי יש שם שליליים

(4,2-) לא שייך ל-R כי בסעיף א' מגדירים אותו על N במקום [math]\displaystyle{ \mathbb Z\setminus\{0\} }[/math], כלומר: [math]\displaystyle{ \mathcal R=\{(a,b)\in\mathbb N^2:a|b\} }[/math]. -אור שחף, שיחה, 20:27, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

כלומר אני מגדיר את R על Z בלי 0, ואז מגדיר אותו בסעיף א' מחדש על N? ובסעיף ב' הוא עדיין על N, כי גם 2 בחזקת K תמיד טבעי? אז למה הגדנו בהתחלה על כל השלמים חוץ מ0? על מה בדיוק היחס R?

אפשר לומר זאת כך, אבל בעצם מה שנאמר בתחית השאלה הוא שהיחס תקף לכל איבר שלם שאינו אפס (תבדוק את זה ותראה שהוא אכן מוגדר גם לשליליים). בסעיף א פשוט מבקשים ממך "לצמצם" את היחס ולבדוק רק על N (הוא לא יהיה יחס סדר חלקי עבור Z). גל.

הבוחן- אני אשמח שרק מתרגל יענה על השאלה

האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?

אני לא מתרגל אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:

• • קבוצות
  • יחסים
  • פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?

הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

שאלה 8 ב

מבקשים ממני להוכיח שR הוא יחס סדר חלקי על הקבוצה [math]\displaystyle{ \{2^k|k\in\N\} }[/math] (אני אסמן קבוצה זו כ-A לצורך נוחות כתיבה בהמשך השאלה). מכיוון ש-A היא תת קבוצה של N האם מותר לי לומר באופן אוטומטי כי גם במקרה זה היחס R הוא יחס סדר חלקי? במקרה כזה, עליי להוכיח רק את התנאי השני לקיומו של יחס סדר מלא.
תודה, גל.

ככה אני עשיתי, נראה לי שאפשר.

שאלה 9 ב'

נקח את הקבוצה:[math]\displaystyle{ \{(1,1),(1,2),(1,3),...,(1,n),...\} }[/math] בתור A. זו קבוצה אינסופית.. זאת אומרת שהיחס המוגדר בשאלה הוא [math]\displaystyle{ \{(1,x)R(1,y)|x \le y\} }[/math] זהו יחס סדר מלא וA אינסופית, כך שהטענה בשאלה לא נכונה! אנא התיחסו לכך בהקדם או תקנו אותי אם אני טועה.

תודה!

--אפרת חסון 00:29, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

צודקת, יפה מאד. אין צורך לענות על הסעיף הזה.

תרגיל 4

מופיעים בתרגיל שני סוגים של מכפלות: קרטזית ו... מה? עד כמה שאני יודע אין עוד מסוג של מכפלה בין שתי קבוצות, אלא אם הן םונקציות ואז הסימן הזה אומר הרכבה, רעיון בעייתי בגלל שאין סום סימן לקיומן כפונקציות.

מה פשר העיגול בין הקבוצות?

סימן ההרכבה רלוונטי גם ליחסים שאינם פונקציות: #תרגיל 2. 22:43, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

תרגיל 5

בשאלה 5 מסמנים לך R בחזקת 1-,מה זה אומר??למדנו את זה רק לפונקציות

#שאלה5.א. -אור שחף, שיחה, 21:19, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלה 5א'

בשאלה מגדירים [math]\displaystyle{ R^{-1} }[/math] אבל מה שמקבלים כשהופכים את R הוא בכלל לא פונקציה (כי למקור 2 קיימים שני ערכים של Y).. אז מה אני צריכה לכתוב? לא מוגדר?

הגדרנו בכיתה את [math]\displaystyle{ \mathcal R^{-1} }[/math] גם אם הוא לא פונקציה: #שאלה5.א. -אור שחף, שיחה, 21:16, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

אוקיי,הבנתי. תודה.

הקרדיט ל-84.111.91.16. -אור שחף, שיחה, 22:21, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלה 2

לפי תנאי היחס, x-y<1. הנחתי שקיימת סימטריות ואני מקבל ש- x-y>-1. האם בגלל שאין סתירה מתקיימת סימטריות?

אין סימטריות. כן מתקבלת סתירה, אבל לא לכל x,y, אלא רק לאלה שמקיימים [math]\displaystyle{ x-y\lt 1 }[/math] אבל לא מקיימים [math]\displaystyle{ x-y\gt -1 }[/math]. -אור שחף, שיחה, 21:14, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

5.ב.1

האם משמעות הביטוי היא שאיקס פלוס שני וואי לחלק לשלוש זה מס' שלם או ההפך?

ש-[math]\displaystyle{ \frac{x+2y}{3}\in\mathbb{Z} }[/math] (כי 3 מחלק את x+2y ללא שארית). -אור שחף, שיחה, 21:07, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלה לגבי נושאי הבוחן

מה הם הנושאים לבוחן ביום רביעי ?

עד עוצמות, לא כולל. -אור שחף, שיחה, 21:04, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלה5.א

מה זה אומר s בחזקת מינוס אחת?

תשובה

לכל יחס [math]\displaystyle{ R \subseteq A \times A }[/math] מוגדר יחס הופכי [math]\displaystyle{ R^{-1} }[/math] באופן הבא: [math]\displaystyle{ R^{-1} = \{(x,y) \in A \times A : (y,x) \in R\} }[/math] בעצם הופכים אפוא את כל הזוגות ביחס המקורי.

שאלה3

אם R יחס על A, האם זה אומר שצריך להיות ייצוג בצורת זוג סדור לכל איבר שנמצא בA?

לא, זה הכרחי רק בפונקציות. -אור שחף, שיחה, 18:08, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלה על הרכבת יחסים

מה זה אומר R הרכבה R? לפי ההגדרה שנתתם, נראה לי שR הרכבה R זה פשוט R. אני טועה? תודה.

תשובה

דבר ראשון, על מנת שההרכבה בכלל תהיה מוגדרת היחס חייב להיות מהצורה [math]\displaystyle{ R \subseteq A\times A }[/math].

לדוגמא, נניח והזוג היחיד בתוך R הינו (a,b). אזי בR הרכבה על R לא יהיו זוגות כלל. כי לפי ההגדרה,

[math]\displaystyle{ (c,d)\in R \circ R \iff \exist e \in A :(c,e) \in R \and (e,d) \in R }[/math]

וכאן הסיטואציה הזו לא מתקיימת אלא אם כן [math]\displaystyle{ a=b=c=d=e }[/math].

--ארז שיינר 17:28, 31 ביולי 2010 (IDT)

תרגיל 5 א'

בתרגיל מבקשים הרכבה של קבוצות כמו בשאלה 4, אך יש מקרים שלא תואמים את מה שציינתם בתשובה לגבי הרכבה של פונקציות... הקבוצות של המכפלה הקרטזית לא תואמות זו את זו..

למה אתה מתכוון במקרים לא תואמים? Adam Chapman 22:12, 31 ביולי 2010 (IDT)

סליחה, טעות שלי.

תרגיל 7 ג'

הכוונה ל [math]\displaystyle{ (AXA)\setminus (R\cup I_{A}) }[/math] או ל [math]\displaystyle{ ((AXA)\setminus R)\cup I_{A} }[/math]  ?

לפי השאלה נראה לי שהם מתכוונים לאפשרות השנייה שאמרת (כי האפשרות הראשונה היא כמו בסעיף הקודם רק עם עוד פחות דברים, שזה לא הגיוני כל כך לשאלה).

תרגיל 6

בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB. ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת: R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A (a,a שייך ל R.

ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות. אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?

אדי

תשובה

שים לב כי [math]\displaystyle{ A\times B }[/math] הינה קבוצה. והאיברים בG הם מהצורה [math]\displaystyle{ ((a,b),(c,d))\in (A\times B) \times (A \times B) }[/math]

איך רפלקסיביות צריכה להראות במקרה הזה לדעתך?

הבנתי: לכל [math]\displaystyle{ (a,b)\in (A\times B) }[/math]

[math]\displaystyle{ ((a,b),(a,b))\in G }[/math]

תודה.

הערה

נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.

תשובה

יש ארכיון Adam Chapman 16:29, 30 ביולי 2010 (IDT)

דיברתי על משהו אחר ואל התלמידים. לא משנה :) (זה ארז)

תרגילים 3 ו4

בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!

בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).

תשובה

• לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)
• איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.

נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.

אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן [math]\displaystyle{ R\subseteq A\times B }[/math] ולא רואה את הסימן [math]\displaystyle{ R= A\times B }[/math]

הערה

אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]

אדי, שים לב לשאלה הוכח/הפרך. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון או להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.

מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)

--ארז שיינר 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)

הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.

הערה

אבל R תמיד רפלקסיבי,לא?X שייך לAi וגם X שייך לAi...

תשובה

אם נניח ש Ai כולן קבוצות ריקות. האם R רפלקסיבי?

אבל נתון שהאיחוד כולו נותן את A אז איך ייתכן שAi כולן ריקות?

הן לא ריקות, החיתוך שלהן ריק. -אור שחף, שיחה, 22:10, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

תרגיל 2

בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?

• תוספת לשאלה: לא אמורים לפתור את זה כמו שפתרנו את 1? פשוט להפריך את אחת מתכונות יחס השקילות בכל סעיף? כאשר מדובר על קבוצה עם זוגות סדורים (x,y)

תשובה

שאלה טובה. זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין [math]\displaystyle{ A }[/math] ל[math]\displaystyle{ B }[/math] הוא תת-קבוצה של [math]\displaystyle{ A \times B }[/math].

פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.

הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:

אם [math]\displaystyle{ R \subseteq A \times B }[/math] וגם [math]\displaystyle{ S \subseteq B \times C }[/math] אז [math]\displaystyle{ S \circ R \subseteq A \times C }[/math]

כך ש[math]\displaystyle{ (a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R }[/math].

עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ. Adam Chapman 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)

תרגיל 2

שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו? תודה, שלומי

המתרגלת שלנו אמרה לנו שביום רביעי.

הגשות של תרגילים יהיו תמיד בימי רביעי. יפית נתני.