בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ {n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!} }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

ארכיון 2 - תרגיל 2

ארכיון 3 - תרגיל 3

שאלות

שאלה 6א'

האם אפשר להגיד שאם A מוכלת בB וA אינסופית אז יש פונקציה חח"ע מA לB? ואז בהכרח B אינסופית <כלומר B לא סופית>.. הסעיף הזה די טריוויאלי, אז באיזו דרך מצפים שנוכיח אותו?

בערך כמו שאמרת, נראה לי.. (אני לא מתרגל).

שאלה 6ד'

אפשר להשתמש בסעיף ג' כדי להוכיח? ואם לא- מה אם B קבוצה ריקה-לא נקבל שיש רק פונקציה אחת בקבוצת הפונקציות?

שאלה על עוצמות

A|+|B|=|D|+|C| נתון העוצמה של B שווה לעוצמה של C. האם העוצמה של D שווה לעוצמה של A?

לא בהכרח למשל א+1=א+2=א אבל 2לא שווה ל-1...

שאלה 3

אפשר להוכיח ע"י דוגמא? כי מבקשים להראות שקיימת, אז אם אני מראה שיש לפחות פונקציה אחת כזו זה מספיק?

תשובה

אתה צריך להוכיח שלכל |A|=|B| יש פונקציה חח"ע שהיא לא על, כלומר אם אתה נותן דוגמה עבור |A|=|B| כלשהם זה לא מספיק(אלא אם כן אתה מתכוון לתת דוגמה עבור כל |A|=|B| שזה כידוע לך בלתי אפשרי...) כלומר אם ברצונך להוכיח את המשפט אתה חייב לעשות את זה באופן כללי, אבל להפריך אתה יכול בעזרת דוגמה...

שאלה כללית

מה העוצמה של חיבור של [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math] קבוצות כאשר כל קבוצה עוצמתה [math]\displaystyle{ \aleph }[/math]? (כולן זרות)

זה כמו א כפול אלף אפס שווה לאלף

תכונות של חזקת עוצמות

אחד המתרגלים יכול להעלות הוכחה לכל התכונות של חזקת עוצמות?

אומנם שי הוכיח את התכונות בהרצאה אך בצורה מאוד לא מפורטת...תודה!

שאלה 9ב'

האם מותר לי להגדיר פו' g מ-C ל-A בחזקת B (הפו' מB לA) ע"י כך ש(קראו לאט, הניסוח אולי מסובך) g(c) = Gc(b) a (הוספתי את הa כדי לתקן את הבעיות בעברית-אנגלית, הוא לא אמור להיות שם) כאשר Gc היא פו' מB לA ומוגדרת ע"י Gc(b) = b*c ? מותר לי להגדיר ככה את הפונקציות, או שאולי אסור להגדיר אותן ככה כי אז אני מניח שהקבוצה A היא קבוצת המכפלות של איברים מB ומC? תודה.

איפה נמצא תרגיל 10א?

מה לא מספיק לך ב' ג' וד'?

שאלה 3

(האם מדובר בקבוצות אינסופיות), אם אני נותן דוג' נגדית של קבוצה סופית, האם זאת הפרכה או שצריך להראות גם בקבוצות אינסופיות

תשובה

לא הוגדר בשום מקום את גודל הקבוצות, לכן אתה רשאי להניח כל סוגי הקבוצות בדוגמא נגדית. (גרישה אושרוביץ')

שאלה כללית

כמה פונקציות יש מקבוצה ריקה לקבוצה לא ריקה?

1 (זו הפונקציה הריקה).

שאלה 6,7

בשאלה 6 א',ב' אפשר פשוט להגיד שהעוצמה של A קטנה או שווה לעוצמה של B ולכן בB צריכים ליהיות אינסוף איברים?מה זה סדרה עולה?

תשובה

• שאלה 6: לא, צריך להראות זאת במפורש, כלומר להוכיח ש-B לא יכולה להיות קב' סופית.
• שאלה 7: ראה תשובה למטה.

(גרישה אושרוביץ')

שאלה

האם [math]\displaystyle{ |A \setminus B | = |A | - |A \cap B | }[/math] נכון בעבור עוצמות?

מותר לי להשתמש בזה בלי לנמק?

תשובה

לא. זה כלל לא נכון לגבי עוצמות. לא הגדרנו כלל את סימן המינוס בעוצמות (למעט עוצמות סופיות) קח לדוגמא את [math]\displaystyle{ A=\mathbb{Q} }[/math] ו[math]\displaystyle{ B=\mathbb{N} }[/math], אז לכאורה לפי הטענה שלך, [math]\displaystyle{ |A \setminus B|=\aleph_0-\aleph_0=0 }[/math]?Adam Chapman 00:35, 16 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלה 5

מה ההגדרה של הפרש עוצמות?

תשובה

לא הגדרנו הפרש עוצמות. בשאלה 5 מופיעה העוצמה של הפרש קבוצות. הפרש קבוצות הגדרנו. ההפרש כשלעצמו הוא קבוצה שיש לה עוצמה. Adam Chapman 11:13, 16 באוגוסט 2010 (IDT)

מה זה הפרש קבוצות-a\b ?

[math]\displaystyle{ A\setminus B=A-B=A\cap \overline B }[/math]

שאלה 8

איך יודעים מה ההבדל בין גדולה "סתם" לגדולה "ממש"?

תשובה: גדולה ממש זה גדולה ולא שווה. [math]\displaystyle{ |A|\lt |B| }[/math] בתרגיל הנ"ל מבקשים קבוצה שעוצמת גדולה מעוצמת הרצף ובנוסף שלא תהיה שווה לה.

צריך להוכיח?

האם צריך להוכיח ש-[math]\displaystyle{ |A\setminus B|\le|A| }[/math] לכל שתי קבוצות A,B, או שזה נחשב טריוויאלי?

תשובה

זה נובע מכך ש[math]\displaystyle{ A \setminus B \subseteq A }[/math] ולכן זה די טריוויאלי. כעיקרון אפשר להעיר בקצרה ואין צורך ממש להוכיח את זה על מנת להשתמש בעובדה הזו אלא אם זה מה שאתם מתבקשים להוכיח. Adam Chapman 20:40, 15 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10

• בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה [math]\displaystyle{ 1/n }[/math]? ומהו הישר הממשי?
• בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)
• בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?
• בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?
• שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)

תשובה

• שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה [math]\displaystyle{ \R }[/math] שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: [math]\displaystyle{ (-\infin,\infin) }[/math]
• שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.
• שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}
• שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות [math]\displaystyle{ \aleph }[/math].
• שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.

(גרישה אושרוביץ')

תרגיל 4 שאלה 4

מהו הישר הממשי? תודה, גל.

שאלה 5

בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?

[math]\displaystyle{ A-B=A\setminus B }[/math] לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.

תשובה

הכוונה ל- [math]\displaystyle{ |A\setminus B|=|A\setminus C| }[/math] (גרישה אושרוביץ')

חיתוך

אם ידוע לי ש-[math]\displaystyle{ A\setminus B=A\setminus C }[/math] אני יכולה להסיק מזה שB=C?

לא: [math]\displaystyle{ A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C }[/math]

התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)

אם [math]\displaystyle{ B,C\subseteq A }[/math] אז

[math]\displaystyle{ \begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align} }[/math]