לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

ארכיון 2 - תרגיל 2

ארכיון 3 - בוחן + תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 3

ארכיון 5 - תרגיל 4

שאלות

שיעור חזרה ביום ראשון

שיעור החזרה יהיה במתכונת של שאלות ותשובות, או שהמתרגל יפתור תרגילים?

פשוט אני עוברת על כל המחברת ועד עכשיו יש לי בערך 7 שאלות, כדאי לשאול אותן פה, או לחכות לשיעור? (קשה יותר לשאול ולהסביר פה..)

תשובה

שיעור החזרה יהיה עם חומר מוכן מראש.

פרט לכך, נשאר אתכם כמה שצריך אחרי כן לענות על שאלות (לא כל המתרגלים, אבל לפחות אני).

בנוסף, אפשר לרשום פה בוודאי.

תודה על התשובה המהירה! מי אתה?

ארז.

אה יופי אתה המתרגל שלי.

עמוד 49 שאלה 11.8

עבור מטריצה A=1-0-0,0-1-0 (מסדר 2 על 3), אני טוענת ש-rankA=2. צריך להסביר משהו מעבר ל: "לפי הבסיס הסטנדרטי rankA=2"?

תודה.

תשובה

מה הכוונה לפי הבסיס הסטנדרטי? ניתן לומר "זו מטריצה מדורגת. דרגת המטריצה שווה למספר השורות השונות מאפס בצורה המודרגת שלה. יש פה 2 שורות שונות מאפס"

טוב.. פשוט זה נורא ארוך לתרגיל שכולו 2 שורות ><. תודה.

יש לי רעיון, אכתוב "דרגת מטריצה מדורגת שווה למספר השורות השונות מ-0 בצורתה המדורגת" ואסמן בכוכבית, ואז בכל פעם אכתוב "לפי * rankA=2". אחרת, זה נורא ארוך וסתמי, לחזור על אותו המשפט 9 פעמים!

שאלה ממבחן

במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 2, z^3=x3 כשx שווה לצמוד של z. למה אף אחת מהתשובות לא נכונה? יצא לי שim(z)=0 גם כשהתעסקתי בZ כa+bi וגם כrcisO. זו טעות או שאני טועה? תודה

2.11=

בשאלה 2.11 בב' כתוב שיש העתקהה s:v -> v וs לא שווה לאפס. לא נאמר ש S העתקה לינארית, האם כשאני מוכיל שב' שקול לא' אני צריך להוכיח שS לינארית, או שהיא סתם העתקה? תודה

שאלה ממבחן=

אם נתון לי ש

T(1+2x+xx)= (1,1,2)

T(1+x+2xx)=(2,1,1)

T(2+x+xx)=(1,2,1)

אז אני יכול להגיד שפשוט T(axx+bx+c)= (c,b,a) ואז זה ממש ממש פשוט להוכיח שT חח"ע ועל? ועוד שאלה קטנה, כתוב בתחילת השאלה שT העתקה לינארית, אז זה אומר שכדי להוכיח שT איזומורפיזם אני לא צריך להוכיח שהיא העתקה לינארית נכון? תודה.

2.8

סלחו לי אם אני כותב את התשובה, אבל לא קיבלתי מענה האם ההוכחה שלי נכונה או לא- האם אני יכול להוכיח שv=imT1=imT2 כך? x שייך לimT1 וy שייך לimT2 וv שייך לV.

x+y /T1() -> =T1(x)+ T1(y) /+T2(v) -> =T1x+T1y+T2v ->T2() -> =T1T2x+T1T2y+T2T2v =0+T2T2v =T2v

v /T1() -> =T1v /+T2v -> = T1v+T2v =Iv=v /T2() -> =T2v

(עשיתי אותן פעולות והגעתי לכך ששני האגפים שווים). ואז רק להוכיח שחיתוך הimים זר, וזה בסדר? או שזה לא נכון? תודה!

לא קיבלת מענה, כי בשביל זה יש בדיקת תרגילים. ביום ראשון יפורסמו פתרונות לתרגילים בכל מקרה.

אני לא יקבל את התרגיל עד המבחן ואני רוצה לדעת אם הפתרון שלי גם בסדר...

אז תשאל שוב יום ראשון.

למחוק את השאלה?

זה בסדר, תודה :)

6.14

סעיף א: האם צריך להשלים את הה"ל לפי הבסיס הסטנדרטי , ואז למצוא את T בצורה מפורשת? וכן בסע' ב' האם לשלוח את הוקטורים הנתונים ל-0, ולהמציא וקטור שלישי (בת"ל בשניים הנתונים) ו"לשלוח אותו" לסתם וקטור כלשהו, ואז למצוא את T... אבל אז סע' ב' וג' יכלים להיות זהים? נכון?

תשובה

בסעיף א' צריך למצוא את ההעתקה בצורה מפורשת. מה להשלים למה זה בחירה שלך, העיקר שיקיים את תנאיי הסעיף.

כנ"ל לגבי הסעיפים האחרים.

בוודאי שכל העתקה לינארית מסעיף ג' עונה על התנאים של סעיף ב'.

שאלה בקשר לתשובה

האם צריך להראות איך הגענו לההעתקה המסויימת או שפשוט להראות שהיא מקיימת את התנאים?

תשובה

צריך לפרט בתרגיל הזה, שכן הוא בוחן את ההבנה של משפט ההגדרה, ומציאת העתקה המפורשת מתוך ההגדרה

התכוונתי האם צריך להסביר איך הגעתי להעתקה עצמה או להראות שזה מתקיים עבור בסיס כלשהו ואז להשתמש במשפט ההגדרה ולהגיע לכללית? (האם צריך להסביר למה בחרתי ככה את ההעתקה עבור האיברים של הבסיס ואיך הגעתי אליה?)

1.28

האם זה נכון להוכיח ש imT1=kerT2, ומכאן נובע שהסכום ישר לפי 2.7 ב. כי T2 אידמפוטנטית?

תשובה

אם זה נכון זה בסדר, ואם זה לא נכון אז לא :)

כמה שאלות

• דורש הוכחה או טריוויאלי? קבוצה D פורשת מ"ו V. ב-D יש n איברים. האם צריך להסביר למה מכך נובע ש- dimV<=n? (אפשר להניח בשלילה ש-k=dimV>n ואז אם d שייך ל-D, נוסיף ל-D עוד k-n איברים מהצורה ad כאשר a בשדה. נקבל קבוצה חדשה E שפורשת את V וגם dimE=k לכן E בסיס ל-V, אבל E ת"ל כי [math]\displaystyle{ d+a_1ad=0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] בשדה אבל [math]\displaystyle{ a_1=-a^{-1} }[/math] שונה מ-0. קיבלנו סתירה לכך שבסיס הוא בת"ל, מ.ש.ל) ההוכחה די ארוכה והיא לא מטרת התרגיל (11.2), אבל מצד שני, האורך שלה מראה על כך שהיא לא ממש טריוויאלית.. בקיצור - צריך או לא צריך?
• מה זה cspan? אם יש כזה דבר בכלל..?
• הציון שלי של תרגיל 3 לא מופיע, למה ומה לעשות בנושא? (הגשתי אותו!)

תודה מראש!!

תשובה

• לא צריך להוכיח את זה אלא מבקשים במפורש. מספיק לצטט את המשפט מההרצאה.

• אני מנחש שזה קיצור של Columne Spane כלומר מרחב העמודות. אני לא נתקלתי בזה, אני לא יודע אם ראיתם את זה בהרצאה או לא.

• לשלוח למתרגל שלך מייל בנושא.

תשובה לתשובה

תודה!

• איזה משפט בדיוק?
• אני ראיתי את זה בשאלה שמתחת לזו...
• אוקיי תודה.

לא יודע, תפתח מחברת ותחפש. כנראה שיהיה מספיק לכתוב "לפי משפט, מספר האיברים בקבוצה פורשת גדול או שווה למימד"

נראה לי שהמשפט שאומר שאם יש קבוצה שפורשת את V, וקבוצה בת"ל מוכלת ב-V אז מספר האיברים בפורשת גדול שווה ממספר האיברים בבת"ל.

המבחן

ביום שלישי יש מבחן בלינארית. כמה זמן המבחן? מתי הוא מתחיל? כמה שאלות? מה המבנה?

תשובה

מה שאמרו בהרצאה. אם לא אמרו, אפשר לשאול ביום ראשון בחזרה

   מה אמרו בהרצאה? אני לא יכול להגיע ביום ראשון לחזרה, אתם משאירים אותי פה במתח.

11.10

האם אני יכול להגיד ש- dim(cspan(A)+cspan(B))=rank(A+B)?

תשובה

לא, זה לא נכון. קח (A=(-B

שאלה 6.14

אפשר הכוונה לגבי 6.14? תודה רבה!

הרמז שרשום שם מכוון מצויין.. משפט ההגדרה, השלמה לבסיס. אם תוכל לכוון אותי לבעייה, אני אוכל לכוון אותך לפתרון.

התכוונתי לגבי א'. תודה

כן, לגבי א'. משפט ההגדרה במפורש. הרי התמונה של ההעתקה היא המרחב הנפרש על ידי ה-w_i מהמשפט.

2.8

מה זה אומר ש T1+T2 = Iv? אני יודע מה זה Iv, אני מתכוון ל-מה זה אומר הסכום שלהם? כאילו ש T1v1+T2v2=v1+v2 או ש T1v+T2v=v? או מה? זה ממש לא מובן. תודה

תשובה

תקרא את אותה שאלה עם התשובה למטה.

סליחה לא שמתי לב! אני די בטוח שלא למדנו את זה אבל לא נורא. תודה

אני בטוח לחלוטין (כמעט) שכן למדתם את זה ולכן זה דיי נורא כי זה חומר חשוב למבחן.

שאלה נוספת

וכשכתוב בב' T1T2, הכוונה היא הפעם לכפל של העתקות, כמו סכום? כי בדרך כלל זה הרכבה, אבל עכשיו נראה יותר מתאים שזה יהיה כפל. נכון? תודה

ואז איך תגדיר? כפל של שני וקטורים? אין כזה דבר כפל של שני וקטורים. כפל בין העתקות לינארית הוא בלבד הרכבה. כפי שלמדנו [math]\displaystyle{ T^2=TT=T\circ T }[/math]

אה, חשבתי שאם א. זה חיבור אז ב. זה יהיה כפל כזה D=TS -> D(v) = T(v)*S(v) אבל לא משנה.

עוד שאלה, לגבי דרך הפתרון

האם אני יכול להניח שקיימים x ששייך לimT1 וy ששייך לimT2 ואז להראות שאחרי כמה פעולות imT1+imT2 שווה לv ששייך לV אחרי אותן פעולות? אני ממש לא בטוח אם זה נכון, יש משהו לא נכון בהוכחה שלי? בנוסף, אני חושב שלא השתמשתי בעובדה שזה סכום ישר. זה בסדר? תודה!

אין עובדה שזה סכום ישר, זה מה שצריך להוכיח. אם לא הוכחת את זה אז זה לא בסדר.

ואתה לא צריך להראות שסכום של x וy הוא איבר בV זה טריוויאלי מסגירות. אתה צריך להוכיח שכל v בV הוא מהצורה v=x+y עבור x,y כלשהם בIm-ים המתאימים.

אוקיי, אז אם אני לוקח v ששייך לV, ואחרי כמה פעולות מגיע ממנו לX+Y, זה בסדר?

האם מותר לי גם (יהיה לי הרבה יותר קל אם כן) להניח שקיימים v,x,y כמו מקודם, ואז להראות אחרי כמה פעולות ש v=a וגם x+y=a

(a ביטוי מסוים שלא אכתוב כדי לא לגלות את התשובה). זה בסדר? אפשר להגיד שאם זה ואם אין חיתוך בין הim-ים, אז ה-דרוש מתקיים?

ועוד דבר, אני יכול להניח שT1 וT2 הפיכות? תודה!

אי אפשר להניח דברים שלא בנתון. ושוב, אתה חייב להראות שכל v הוא מהצורה הנ"ל. איך תעשה את זה? זו החלטה שלך. הניסוח שלך קצת מצחיק- תקח x,y,v כללים ותוכיח שתמיד x+y=v? הרי וודאי לא יכול להיות שתצליח בזה.

2.7

אם אני מוכיח ב א' T היא העתקה הזהות זה בעצם מקיים את מה שהם מבקשים? או שצריך להראות שייש מקרים עבורם T שווה למינוס העתקת הזהות?(לפי מה שניסיתי לראות המקרה השני בכלל לא הגיוני וניתן לסתור אותו,אז אם צריך להראות שניתן שיתקיים שT שווה למינוס אז זו בעצם הפרחה, לא?)

תשובה

הלוגיקה חשובה במתמטיקה. אני אענה לשאלה, אבל חשוב לי להבהיר שאתם צריכים להיות מסוגלים להבין שאלה כזו לבד.

כאשר אומרים הוכח/הפרך, יש לומר אם המשפט הוא משפט שקר או משפט אמת.

במקרה הזה המשפט הוא: T המקיימת את תנאי השאלה היא בהכרח העתקת הזהות או מינוס העתקת הזהות.

אם כל T שמקיימת את תנאי השאלה היא העתקת הזהות או מינוס העתקת הזהות אזי המשפט נכון (מהגדרה).

לעומת זאת, אם קיימת T שמקיימת את תנאי השאלה ושונה מהעתקת הזהות וגם שונה ממינוס העתקת הזהות אזי המשפט הוא משפט שקר והפרכנו אותו.

ככה חשבתי, פשוט זה נראה לי מוזר שבכלל הוסיפו את העניין עם המינוס אם הוא לא משנה בכלל, אז העדפתי לשאול. תודה

יופי. תמיד טוב לשאול.

שאלה בקשר לשאלה והתשובה שנשאלו פה

רגע, אבל מה עם העתקת האפס, זה לא סותר את מה שאמרתם, העתקת האפס לא שווה להעתקת היחידה? לא?

1.28

המטריצה המייצגת יצאה לי (x^2 2*x+3 3*x) זה הגיוני?ואז אני מדרג?הרי זה כמו וקטור שורה איך אני יכול לדרג? (לא ענית לי למטה..)תודה!

תשובה

כי מה שרשמת זה לא מטריצה. העמודות של המטריצה צריכות להיות וקטורי הקואורדינטות, בוודאי פולינום אינו יכול להיות עמודה של מטריצה.

ממליץ בחום רב לקרוא את המסמך על קואורדינטות ומטריצות מייצגות, יש שם דוגמאות והסברים לכל התהליך.

שאלה (שקשורה ל6.14)

האם העתקה T:V->W חייבת להיות מוגדרת לכל v בV? אני יודע שבהעתקות, לא חייב להיות לכל וקטור בW מקור, כי אני זוכר שהעתקה יכולה להיות על ולא על, אבל האם היא חייבת "לקחת" את כל הקטורים מV אל איברים בW אל לא? למשל, אם אני מגדיר העתקה מR4 לR4, האם אני יכול להגיד אותה כך? T(a,b,00) = T(0,0,a,b) אפילו שהוא לא מוגדר לכל V, או לא? תודה

תשובה

חייב להיות מוגדר לכל v, באופן כללי פונקציה צריכה להיות ח"ע ושלימה (כמו בבדידה)

1.14

אפשר בבקשה הכוונה איך אני מוכיח את א'? עם ב' הסתדרתי..

אין סעיפים בשאלה 1.14

התכוונתי להעתקת האפס!!

מוכיחים את זה באמצעות הקריטריון המקוצר לבדיקת העתקה לינארית.

אני יכול לעשות מעבר כזה: T(v+u) =0 כיוון ש לכל v ששיך לV מתקיים T(v)=0?

מן הסתם... זו ההגדרה של העתקת האפס.

תודה:)

שאלה

הדרגה של מטריצה עם 2 שורות ו2 עמודות שונות משורות אפסים, היא 2 או 4? לפי תשובה קודמת, נראה שכתבתם שהדרגה היא 2, אבל זה מביא לסתירה מסוימת, כי אם rank(A) =2 אם A מטריצה מגודל 2 על 2, אז זה אומר גם שהמימד של המרחב R2x2 הוא 2, לא? אבל חשבתי שהמימד של המרחב R2x2 הוא 4, כי בבסיס שלו 4 איברים {(0,0,0,1)(0010)(0100)(1000)} ? איפה אני טועה? תודה

תשובה

לפי תשובה קודמת, ראינו מטריצה כזו עם דרגה 1. אין קשר בין המימד של מרחב המטריצות, לפי המימד של מרחב השורות של המטריצה. הדרגה של מטריצה בגודל nxm היא קטנה שווה למינימום בין n,m. לעומת זאת מימד כל המטריצות הוא nm.

אם המטריצה בצורה מדורגת, הדרגה שלה היא מספר השורות השונה מאפס. בפרט, הדרגה לא יכולה להיות גדולה ממספר השורות.

כמה שאלות: -מהי הגדרה של הדרגה של מטריצה? אם היא קטנה או שווה למינימום בין M,N, זה אומר שאי אפשר לחשב אותה במדויק?

-אם יש מטריצה (מטריצות) שנראית כך: a, b, c, a+b+c

(a וb בשורה הראשונה וה2 האחרים בשורה השניה), אז מימד המטריצות האלה הוא עדיין MN? אפילו שאחד האיברים במטריצה תלוי באחרים?

-rankT כך שT הוא ממטריצות MxN למטריצות מאותו הגודל, הוא MN או המינימום? יש דבר כזה rankA וגם rankT כשA מטריצה וT העתקה? הם 2 סימונים ל2 דברים שונים? תודה רבה

תשובה

ההגדרה רשומה בעמוד זה, מספר פעמים. למשל #שאלה לתשובה ושתי שאלות מתחתיה.

אם תיקח תת מרחב של מרחב כל המטריצות שלא מכיל את כל המטריצות האפשריות, המימד שלו בהכרח יהיה קטן יותר. לגבי הדוגמא הספציפית צריך לוודא שזה אכן תת מרחב אחרת אין הגדרה למימד שלו.

rankT היא הדרגה של העתקה, אני לא יודע אם למדתם את זה או לא. אם כן, יש הגדרה במחברת שלכם. אם T העתקה לינארית ממרחב המטריצות למרחב המטריצות, היא העתקה בין מרחבים וקטוריים ממימד NM ולכן המטריצה שמייצגת אותה היא מגודל NMxNM, ולכן יכול להיות שהדרגה של המטריצה המייצגת הינה NM.

תודה לגבי כל השאר, יש לי רק עוד דבר לא פתור: נניח שיש מטריצה (בוא נגיד, מסדר 2 על 2) כאשר אחד או יותר מהמקומות במטריצה הוא תלוי\ים במקומות האחרים (כמו בדוגמה שנתתי קודם, רק אם הדוגמה שנתתי לא טובה (כי היא לא תת מרחב וכדומה) אז דוגמה אחרת דומה -- המימד של המטריצות מהסוג הזה הוא עדיין MxN או לא? תודה.

דוגמא:

יהי מרחב המטריצות [math]\displaystyle{ V=F^{2\times 2} }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ W=\{A\in V : a_{11}+a_{12}+a_{21}=a_{22}\} }[/math].

אזי קל לוודא שW תת מרחב של V ושהבסיס שלו הינו [math]\displaystyle{ B=\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix} \} }[/math]

לכן המימד של W הינו 3.

המימד של V לעומת זאת הוא 4.

איך מצאת את הבסיס של W?

1.28

מה הכוונה וקטור כללי מ R2[X ? נניח (1,1,1) הוא טוב?

תשובה

1. (1,1,1) הוא וקטור ספציפי - ההפך מכללי

2. במרחב הפולינומים [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_2[x] }[/math] הוקטורים הם פולינומים מדרגה קטנה שווה 2. לכן וקטור כללי במרחב זה הוא [math]\displaystyle{ a+bx+cx^2 }[/math]

את האמת שזה מה שחשבתי רק שלא הייתי בטוח..

בכל מקרה, איך אני מחשב את ההעתקה ההפיכה?

יש כמה דרכים. אחת מהן למדתם בהרצאה- בעזרת ההופכית של המטריצה המייצגת. הדרך השנייה היא לפי משפט ההגדרה - מספיק לבחור בסיס בתמונה ולראות מה המקור שלו וכך אפשר לחשב את המטריצה המייצגת של ההעתקה ההופכית.

ראיתי הגדרה שאומרת: תהי f:A->B פונקציה. אם קיימת g:B->A כך ש f הרכבה g =למטריצה היחידה של A ו g הרכבה f= למטריצת היחידה של B נאמר

שf הפיכה וg נקראת הפונקציה ההופכית של f.

אי אפשר להשתמש בזה עבור הרכבה של העתקות לינאריות?

אפשר לומר את זה על העתקות לינאריות, עם הסייג הבא: הרכבה של העתקות לינאריות אינה מטריצה אלא העתקה. כלומר ההרכבה של ההעתקות היא ההעתקת הזהות והמכפלה של המטריצות המייצגות היא מטריצת היחידה (שכן המטריצה המייצגת של העתקת הזהות מבסיס לעצמו היא תמיד מטריצת היחידה).

המטריצה המייצגת יצאה לי (x^2 2*x+3 3*x) זה הגיוני?ואז אני מדרג?הרי זה כמו וקטור שורה איך אני יכול לדרג?

שאלה

צריך למבחן לדעת את העתקת האינטגרל, הנגזרת ועוד נושאים המוזכרים בחוברת של בועז צבאן ולא למדנו אותם??

תשובה

אין צורך לדעת דברים שלא נלמדו בהרצאה, בתרגיל או נתנו בשיעורי הבית.

כמובן שלא מזיק לפתור תרגילים נוספים, אבל אין צורך לזכור הגדרות אחרות.

שאלה למתרגלים (או למתרגל הספציפי שלי, אדם צ'פמן

למדנו נושא שלם (דטרמיננטות) שלא הזכרנו אותו אפילו בתרגול עם אדם צ'פמן. למה? המרצה אמר שהוא יכול להיות במבחן! תודה.

מוזר, אנחנו מהקבוצה השנייה(עם אלי בגנו) לא למדנו דטרמיננטות בכלל גם לא בתרגול.

תשובה

אם הנושא יהיה במבחן, הוא יהיה בהתחשב בכך שלא היה תרגול. בהסמך על מה שלמדתם בהרצאה בלבד.

כמובן שלמי שלא למד את זה בהרצאה, זה לא יהיה במבחן.

תרגיל 11.8

מבקשים ממני בתרגיל לתת דוגמות למטריצות אשר מקיימות את התנאי המתבקש. האם אני צריך להסביר כיצד הגעתי לדרגה של המטריצות A ו-B שבחרתי או שפשוט לכתוב: "דרגתה של המטריצה A שנבחרה היא ... " ואותו כנ"ל עבור AB.

תודה מראש, גל.

צריך רק להראות שהדרגה שלהן היא אכן כפי שאתה טוען.

תרגיל 11.2

האם x הוא בהכרח וקטור מסדר n*1 או שהוא יכול להיות מטריצה?

תשובה

הכוונה היא שb וx שניהם וקטורי עמודה (כלומר מגודל nx1 כפי שציינת)

תודה!

ועוד שאלה: כאשר נתון ש-[math]\displaystyle{ V }[/math] הוא מרחב העמודות של [math]\displaystyle{ A }[/math], האם אני יכולה פשוט בלי להסביר כלום לכתוב ש: [math]\displaystyle{ V=span\{v_1,v_2,...,v_n\} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ v_1,v_2,...v_n }[/math] הם וקטורי העמודות של [math]\displaystyle{ A }[/math]?

כן, זו ההגדרה.

בסיס

הוצאתי חוברת לינארית מהספרייה, ובספר כתוב שכדי לוודא שוקטורים מסויימים a1,a2,...ak בת"ל, צריך לשים את הוקטורים כעמודות של מטריצה הומוגנית, ואז לצטט את שני המשפטים הבאים: במטריצה המורכבת מהעמודות a1,a2,...,ak,b (כך שכל עמודה היא וקטור), הוקטור b הוא צירוף לינארי של a1,...,ak כך שהמקדם של ai לכל i הוא xi אם"ם (x1,...xk) הוא פתרון של המערכת שלמעלה. בנוסף ידוע כי מטריצת מקדמים מצומצמת (כלומר מקדמים של מערכת משוואות לינאריות הומוגניות) היא שקולה למטריצת היחידה אם"ם אין למערכת פתרון לא טריוויאלי. כלומר נוכיח שהמטריצה שהרכבנו מהעמודות a1,...,ak,b שקולה למטריצת היחידה עפ"י פעולות שורה אלמנטריות, ולפי זה פתרון המערכת x1,...,xk הוא טריוויאלי כלומר 0=(x1,...,xk) ולכן ל- 0=x1a1+x2a2+...+xkak יש רק פתרון טריוויאלי לכן לפי הגדרה הווקטורים a1,...,ak בת"ל.

השאלה שלי היא האם מספיק לנמק: ידוע שאם מטריצה שקולה למטריצת היחידה אז כל עמודותיה בת"ל? נימוק כזה קצר יכול לחסוך המון זמן וכאב ראש...

תשובה

למדנו את התיאור הראשון בתרגיל - וגם השתמשנו בזה בפתרון תרגיל 3 (בקובץ המצורף). כמו כן למדנו שניתן לדרג את המטריצה ולראות האם שורות התאפסו לנו. אלה שתי שיטות שונות ושתיהן נכונות.

חשוב לשים לב ששקילות למטריצה היחידה היא רלוונטית רק כאשר מדובר על מטריצה ריבועית. וקטורים יכולים להיות בת"ל גם אם תשים אותם בעמודות מטריצה והיא תהיה לא ריבועית.

חשוב לזכור שכאשר אנו שמים וקטורים בעמודות ומדרגים - אנו מסתכלים על מרחב הפתרונות. כאשר אנו שמים את הוקטורים בעמודות ומדרגים - אנו מסתכלים על מרחב השורות.

11.10

המטריצות A B הן שתיהן מגודל MXN?ובהוכחה אני אמורה להניח שהשורות הן בת"ל ושהדרגה שווה למס' השורות? אם שתי המטריצות הן מגודל MXN אז מה הדרגה?

תשובה

לעולם לא מניחים דברים שלא כתובים בנתון. הגדלים של המטריצות נתונים - וזה נכון.

השורות לא חייבות להיות בת"ל בכלל.

שאלה לתשובה

תודה על התשובה אבל לא כ"כ עזרת לי, ברור לי שאי אפשר להניח משהו שהוא לא נתון, השאלה שלי היתה האם כדי להוכיח את מה שרצו אני מניחה שהם בת"ל,הרי במקרה כללי אני חייבת להניח את זה..לא?ובנוסף לא ענית לי מהי הדרגה של מטריצה(כללית, כלומר שלא יודעם את אבריה) MXN?מימד מרחב השורות/העמודות?

תשובה

זה כמו לשאול: האם x זוגי? התשובה המתבקשת כמובן היא תלוי מהו x.

אי אפשר להניח ששורות המטריצה בת"ל, הרי בוודאי יש מטריצות ששורותיהן תלויות לינארית. למה שתניחי דבר שהוא לא בהכרח נכון?

אין כזה דבר דרגה של מטריצת כללית. שוב, הדבר דומה לשאלה מהם הגורמים הראשוניים של מספר כללי x.

כאשר מנסים לפתור תרגיל כזה צריך לגשת אליו בצורה טכנית. לתת שמות לשורות המטריצות A,B ואז לראות מהן שורות המטריצה A+B, ואז לראות איך אפשר לחשב את הדרגה כפונקציה של השורות האלה וככה לנסות לפתור את התרגיל.

באופן כללי יש משפט לפיו דרגת המטריצה = מימד מרחב העמודות = מימד מרחב השורות = מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית = מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת של המטריצה

תרגיל 2.8

מה הכוונה ב(א) שכתוב [math]\displaystyle{ T1 + T2 = Iv }[/math] ? כלומר מה הכוונה בחיבור העתקות ליניאריות? תודה רבה... XD

תשובה

כמו שלמדנו בהרצאה ובתרגיל על המרחב הוקטורי של העתקות לינאריות - [math]\displaystyle{ Hom(V,W) }[/math]:

יהיו 2 העתקות לינאריות T,S. נגדיר את ההעתקה הלינארית שהיא החיבור שלהן D=T+S, על ידי [math]\displaystyle{ \forall v\in V :D(v)=S(v)+T(v) }[/math]

תשובה לתשובה

תודה רבה XD :P :) :D

מרחב עמודות ***עוד שאלה***

איך מחשבים את הדרגה של A, כלומר את מספר האיברים בבסיס של מרחב העמודות של A? איך מוצאים את הבסיס? מהי הדרגה של מטריצת האפס? למה? תודה.

תשובה

• הדרגה של המטריצה היא מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת שלה.

• אפשר למצוא בסיס למרחב העמודות על ידי:
  • שחלוף המטריצה A
  • דירוג המטריצה המשוחלפת
  • שורות הצורה המדורגת של המטריצה המשוחלפת השונות מאפס, מהוות בסיס למרחב העמודות (כאשר מסתכלים עליהן כעמודות כמובן)
• מטריצה האפס היא בצורה מדורגת, אין שורות שונות מאפס ולכן הדרגה היא אפס.

תודה, אבל נראה לי (לפי הגיון) שהדרגה של מטריצה היא מספר השורות שגם לא תלויות אחת בשניה (בת"ל), לא? נגיד המטריצה

1 2

2 4

הדרגה שלה היא 1 או 2? תודה.

הדרגה היא אחד. המושג הכללי שאתה מתאר (מספר השורות שלא תלויות אחת בשנייה) מוגדר במדויק - הוא נקרא מימד. מימד הוא מספר האיברים בבסיס. ואם תביא את המטריצה הזו לצורה מדורגת תראה בקלות שיש רק שורה אחת שונה מאפס בצורה המדורגת, והיא מהווה בסיס למרחב השורות.

תרגיל 11.2ב

מהי המטריצה A|b?

המטריצה A שהוסיפו לה מימין את העמודה b.

סכום ישר

לא הבנתי עד הסוף את הנושא של הסכום הישר! אתה יכול לתת דוגמא?

גם היתה דוג' בהרצאה שלא ממש הבנתי,

V=R^3 u=sp{(1,1,1)}, w={(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0, x1,x2,x3 in R טענה- v=u+w

צ"ל :

1. U+W מוכל בV.

2.V תת מרחב של U+W

3.U חיתוך W שווה 0.

למה צריך להוכיח את 2??

תשובה

הביטוי [math]\displaystyle{ V=U\oplus W }[/math] אומר את שני הדברים הבאים לפי הגדרה:

א. V=U+W

ב. [math]\displaystyle{ U\cap W = \{0\} }[/math]

על מנת להוכיח את א, צריך להוכיח את 1+2 שלך (זו סה"כ הכלה דו כיוונית שמוכיחה שיוויון).

ב' הוא בדיוק 3 שלך.