קוד:אי שיוויונים של גבולות (סדרות)

\begin{thm} נניח $x_n\to L$ אזי \begin{enumerate} \item לכל $p<L$ קיים $n_1 $ כך ש- $n>n_1 \Rightarrow x_n>p$

\item לכל $q>L$ קיים $n_2 $ כך ש- $n>n_2 \Rightarrow x_n<q$ \end{enumerate} \end{thm}

\begin{proof}

אם נציב בהגדרת הגבול של $\lim_{n\to \infty} x_n = L $ את $\varepsilon=L-p$ נוכיח ישירות את 1 ואם נציב $\varepsilon=q-L$ נוכיח ישירות את 2.

\end{proof}

\begin{cor} אם $x_n\to a , y_n\to b$ כש- $a<b$ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} x_n<y_n $ \end{cor}

\begin{proof} אם ניקח $p=\frac{a+b}{2}$ שהוא בין $a$ ל-$b$ אז לפי המשפט הקודם מתקיים:

$$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: x_n

n_2}: y_n>p $$ ואז עבור $n>n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $x_n<p<y_n$ . \end{proof} \begin{cor}[גבול שומר על אי שיוויון חלש] כלומר אם $x_n\leq y_n $ ו- $x_n\to a , y_n\to b$ אז $a\leq b$ \end{cor} \begin{proof} נניח בשלילה ש- $a>b$ אזי מהמסקנה הקודמת $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} y_n<x_n $ בסתירה לנתון. \end{proof} \begin{remark}[גבול לא שומר על אי שיוויון חזק] אם ניקח את $y_n=\frac{1}{n} $ ו- $x_n=0 $ אזי $x_n<y_n$ אבל שתי הסדרות מתכנסות ו\textbf{לא נכון} להגיד ש- $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} x_n < \displaystyle{\lim_{n\to \infty} y_n $ \end{remark} \begin{cor}[גבול סדרה הוא יחיד] כלומר אם $x_n\to L_1 , x_n\to L_2 $ אזי $L_1=L_2 $ \end{cor} \begin{proof} $x_n\leq x_n$ ולכן, מהמסקנה הקודמת, $L_1\leq L_2 $ ובאותה דרך $L_2\leq L_1 $. מכאן ש- $L_1=L_2 $ \end{proof}