קוד:חסמים: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "הגדרה: תהי U סדורה ותהי תת קבוצה $A\subseteq U$, אזי: $M\in U$ נקרא חסם מלעיל של A אם $\forall a\in A:a\leq M$ $m\in...")
 
אין תקציר עריכה
שורה 1: שורה 1:
הגדרה: תהי U סדורה ותהי תת קבוצה $A\subseteq U$, אזי:
<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>


$M\in U$ נקרא חסם מלעיל של A אם $\forall a\in A:a\leq M$
\begin{definition}
תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי:
\begin{enumerate}
\item $M$ נקרא חסם מלעיל של A אם $\forall a\in A:a\leq M$ (כלומר שגדול/שווה מכל איברי הקבוצה)


$m\in U$ נקרא חסם מלרע של A אם $\forall a\in A:a\geq m$
\item $m$ נקרא חסם מלרע של A אם $\forall a\in A:a\geq m$  


חסם מלעיל של A נקרא מקסימום אם הוא שייך לקבוצה A
\item חסם מלעיל של A נקרא מקסימום אם הוא שייך לקבוצה A (בעצם המקסימום זה איבר בקבוצה שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה)


חסם מלרע של A נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה A
\item חסם מלרע של A נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה A


חסם מלעיל של A נקרא החסם העליון של A אם אין ל-A חסם מלעיל קטן ממש ממנו. (כלומר, החסם העליון הוא המינימום מבין קבוצת חסמי המלעיל, אם כזה קיים.)
\item חסם מלעיל של A נקרא החסם העליון של A אם אין ל-A חסם מלעיל קטן ממש ממנו, מסמנים אותו $\sup A $ (מהמילה )


חסם מלרע של A נקרא החסם התחתון של A אם אין ל-A חסם מלרע גדול ממש ממנו. (כלומר, החסם התחתון הוא המקסימום מבין קבוצת חסמי המלרע, אם כזה קיים.)
\item חסם מלרע של A נקרא החסם התחתון של A אם אין ל-A חסם מלרע גדול ממש ממנו, מסמנים אותו $\inf A $ (מהמילה inferior)


\end{enumerate}
\end{definition}


שימו לב לשלילות הבאות:
שימו לב לשלילות הבאות:
שורה 24: שורה 31:
m אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.
m אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.


אקסיומת השלימות של המספרים הממשיים - לכל $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל (מלרע) קיים חסם עליון (תחתון).
\begin{remark}
 
מאחת ההגדרות של $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל (מלרע) קיים חסם עליון (תחתון).
ניתן לראות ששדה הרציונאליים אינו שלם. נגדיר קבוצה של כל המספרים הרציונאליים אשר בריבוע קטנים משתים (כלומר המספרים שקטנים משורש שתים). לכל חסם מלעיל של הקבוצה, יש חסם מלעיל הקרוב יותר לשורש שתים הקטן ממנו (שכן שורש שתים עצמו אינו רציונאלי ולכן לא יכול להוות חסם מלעיל). לכן אין אף חסם עליון לקבוצה החסומה מלעיל שבנינו.
\end{remark}
 


משפט. תהי $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל אזי:
\begin{thm}
תהי $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל אזי:


M חסם עליון של A אם"ם M חסם מלעיל של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a>M-\epsilon$
M חסם עליון של A אם"ם M חסם מלעיל של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a>M-\epsilon$
שורה 35: שורה 42:
m חסם תחתון של A אם"ם m חסם מלרע של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a<m+\epsilon$
m חסם תחתון של A אם"ם m חסם מלרע של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a<m+\epsilon$


 
\end{thm}
במילים: M חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את M בגודל כלשהו שאינו אפס נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש איבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.)
במילים: M חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את M בגודל כלשהו שאינו אפס נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש איבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.)


הוכחה. נניח M חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-M חסם מלעיל. נותר להוכיח כי
\begin{proof}
נניח M חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-M חסם מלעיל. נותר להוכיח כי
$$\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon$$
נניח בשלילה כי קיים $\epsilon >0$ כל שלכל האיברים $a\in A$ מתקיים $a\leq M-\epsilon$.\\
לכן, לפי ההגדרה, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון $M$, בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.


$\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon$
\end{thm}
נניח בשלילה כי קיים $\epsilon >0$ כל שלכל האיברים $a\in A$ מתקיים $a\leq M-\epsilon$.


לכן, לפי ההגדרה, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון $M$, בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.
<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>

גרסה מ־09:27, 17 בספטמבר 2014

<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex>

\begin{definition} תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי: \begin{enumerate} \item $M$ נקרא חסם מלעיל של A אם $\forall a\in A:a\leq M$ (כלומר שגדול/שווה מכל איברי הקבוצה)

\item $m$ נקרא חסם מלרע של A אם $\forall a\in A:a\geq m$

\item חסם מלעיל של A נקרא מקסימום אם הוא שייך לקבוצה A (בעצם המקסימום זה איבר בקבוצה שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה)

\item חסם מלרע של A נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה A

\item חסם מלעיל של A נקרא החסם העליון של A אם אין ל-A חסם מלעיל קטן ממש ממנו, מסמנים אותו $\sup A $ (מהמילה )

\item חסם מלרע של A נקרא החסם התחתון של A אם אין ל-A חסם מלרע גדול ממש ממנו, מסמנים אותו $\inf A $ (מהמילה inferior)

\end{enumerate}

\end{definition}

שימו לב לשלילות הבאות:

M אינו חסם מלעיל אם"ם קיים איבר a>M

m אינו חסם מלרע אם"ם קיים איבר a<m

M אינו חסם עליון אם"ם הוא אינו חסם מלעיל או שקיים חסם מלעיל הקטן ממש ממנו.

m אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.

\begin{remark} מאחת ההגדרות של $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל (מלרע) קיים חסם עליון (תחתון). \end{remark}

\begin{thm} תהי $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל אזי:

M חסם עליון של A אם"ם M חסם מלעיל של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a>M-\epsilon$

m חסם תחתון של A אם"ם m חסם מלרע של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a<m+\epsilon$

\end{thm} במילים: M חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את M בגודל כלשהו שאינו אפס נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש איבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.)

\begin{proof} נניח M חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-M חסם מלעיל. נותר להוכיח כי $$\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon$$ נניח בשלילה כי קיים $\epsilon >0$ כל שלכל האיברים $a\in A$ מתקיים $a\leq M-\epsilon$.\\ לכן, לפי ההגדרה, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון $M$, בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.

\end{thm}

<tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>