קוד:טור טיילור

\begin{definition} תהי $f\in D^{\infty} (a,b) $ אזי אפשר להגדיר את $\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n $ להיות טור הטיילור של $f$ סביב $x_0 $ . \end{definition}

\begin{thm} אם $\lim_{n\to \infty} R_n(x,x_0)=0 $ אזי $f(x) $ שווה לטור הטיילור שלה. \end{thm}

\begin{proof} $$\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n= \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k =$$ $$\lim_{n\to \infty} f(x)-R_n (x,x_0) = f(x)-0=f(x) $$ \end{proof}

\begin{corollary} תהי $f \in D^\infty (a,b) $ כך ש- $\exists M : \forall x\in (a,b), n\in \mathbb{N} :|f^{(n)} (x)|<M $ אזי $f $ שווה לטור הטיילור שלה. \end{corollary}

\begin{proof} לפי לגרנז' לכל $x\in (a,b) $ ולכל $n\in \mathbb{N} $ קיים $c\in [x_0,x]\cup [x,x_0] $ כך ש-

$$|R_n (x,x_0)| = \left |\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}\right | \leq M\cdot \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} \underset{n\to \infty} {\longrightarrow} 0 $$

ומהמשפט הקודם נקבל את הדרוש. \end{proof}

\begin{example} פונקציה שמתכנסת לטור הטיילור שלה רק בנקודת הפיתוח:

$$f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2} }& \text{if}\ x\neq 0 \\ 0& \text{else} \end{cases}$$

נראה כי $f\in D^\infty (-\infty,\infty) $ ו- $\forall n : f^{(n)} (0) = 0 $ . מכאן שטור הטיילור שלה הוא $\sum 0 = 0 $, אבל $f(x)=0 $ רק ב- $x=0 $ . התכונה המיוחדת של הפונקציה הזאת גורמת לה להיות הנחיתה המושלמת של מטוס, משום שב- $t=0 $ היא על הקרקע, המהירות היא $0$, התאוצה היא $0$, השינוי בתאוצה היא $0$, וכן הלאה... \end{example}

\begin{example} נזכור ש- $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n $ עבור $|x|<1 $ ולכן אם נציב במקום $x$ את $-x^2 $ נקבל ש- $\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n} $ וממשפט היחידות נסיק שזהו טור הטיילור של הפונקציה. נשאלת השאלה: אם הפונקציה הזו מוגדרת וגזירה אינסוף פעמים בכל $\mathbb{R} $ , מדוע תחום ההתכנסות שלה הוא עדיין $|x|<1 $ ? הרי ב- $\frac{1}{1-x} $ היה ברור שאם נציב $x=1 $ נקבל מצב של אי הגדרה, אבל פה לכאורה אין שום סינגולריות במרחק $1$ מ- $x_0=0 $ . בקורסים מתקדמים יותר (העוסקים במרוכבים) נראה שבעצם כן יש וזה מה שעוצר את הטור מלהתכנס בטווח רחב יותר. \end{example}