קוד:מכפלת טורים: הבדלים בין גרסאות בדף
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
<tex>קוד:ראש</tex> | <tex>קוד:ראש</tex> | ||
יהיו 2 טורים $(B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty $ . נגדיר את הטור $(C)\sum_{n=0}^\infty c_n $ כאשר $c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} $ | יהיו 2 טורים $(B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty $ . נגדיר את הטור $(C)\sum_{n=0}^\infty c_n $ כאשר\\ | ||
$c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} $ | |||
\ | \begin{thm} | ||
נניח שהטורים $A,B$ מתכנסים בהחלט אזי גם $C$ מתכנס בהחלט ו-$C=A\cdot B$ | |||
\end{thm} | |||
\ | \begin{proof} | ||
קודם נראה ש-$C$ מתכנס בהחלט | |||
$ \sum_{n=0}^m |c_n| = \sum_{n=0}^m |\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}|\leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^n |a_k b_{n-k}| \leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m |a_n| |b_k|= \sum_{n=0}^m |a_n| \cdot \sum_{k=0}^m |b_k| | $$ \sum_{n=0}^m |c_n| = \sum_{n=0}^m \left |\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right |\leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^n |a_k b_{n-k}| \leq$$ | ||
$$ \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m |a_n| |b_k|= \sum_{n=0}^m |a_n| \cdot \sum_{k=0}^m |b_k| = A'\cdot B'$$ | |||
לכן | כאשר $A',B' $ זה טור הערכים המוחלטים של $A,B$ וידוע שהם קיימים וסופיים משום שהטורים מתכנסים בהחלט. לכן קיים חסם מלעיל לסדרת הסכומים החלקיים של $C'_n $ ואז הטור מתכנס בהחלט. | ||
נסמן את הסס"ח של $A$ ב-$A_n$ | נסמן את הסס"ח של $A$ ב-$A_n$ ואת הסס"ח של $B$ ב- $B_n$. מתקיים ש- | ||
$ | $C_n = \sum_{m=0}^n \sum_{k=0}^m a_k b_{m-k} \leq \sum_{k=0}^n \sum_{m=0}^n a_k b_m $ | ||
\end{proof} | |||
<tex>קוד:זנב</tex> | <tex>קוד:זנב</tex> | ||
</latex2pdf> | </latex2pdf> | ||
גרסה מ־14:07, 3 בספטמבר 2014
<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex>
יהיו 2 טורים $(B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty $ . נגדיר את הטור $(C)\sum_{n=0}^\infty c_n $ כאשר\\ $c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} $
\begin{thm} נניח שהטורים $A,B$ מתכנסים בהחלט אזי גם $C$ מתכנס בהחלט ו-$C=A\cdot B$ \end{thm}
\begin{proof} קודם נראה ש-$C$ מתכנס בהחלט
$$ \sum_{n=0}^m |c_n| = \sum_{n=0}^m \left |\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right |\leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^n |a_k b_{n-k}| \leq$$ $$ \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m |a_n| |b_k|= \sum_{n=0}^m |a_n| \cdot \sum_{k=0}^m |b_k| = A'\cdot B'$$
כאשר $A',B' $ זה טור הערכים המוחלטים של $A,B$ וידוע שהם קיימים וסופיים משום שהטורים מתכנסים בהחלט. לכן קיים חסם מלעיל לסדרת הסכומים החלקיים של $C'_n $ ואז הטור מתכנס בהחלט.
נסמן את הסס"ח של $A$ ב-$A_n$ ואת הסס"ח של $B$ ב- $B_n$. מתקיים ש-
$C_n = \sum_{m=0}^n \sum_{k=0}^m a_k b_{m-k} \leq \sum_{k=0}^n \sum_{m=0}^n a_k b_m $
\end{proof} <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>