קוד:מכפלת טורים

יהיו 2 טורים $(B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty $ . נגדיר את הטור $(C)\sum_{n=0}^\infty c_n $ כאשר\\ $c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} $

\begin{thm} נניח שהטורים $A,B$ מתכנסים בהחלט אזי גם $C$ מתכנס בהחלט ו-$C=A\cdot B$ \end{thm}

\begin{proof} קודם נראה ש-$C$ מתכנס בהחלט

$$ \sum_{n=0}^m |c_n| = \sum_{n=0}^m \left |\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right |\leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^n |a_k b_{n-k}| \leq$$ $$ \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m |a_n| |b_k|= \sum_{n=0}^m |a_n| \cdot \sum_{k=0}^m |b_k| = A'\cdot B'$$

כאשר $A',B' $ זה טור הערכים המוחלטים של $A,B$ וידוע שהם קיימים וסופיים משום שהטורים מתכנסים בהחלט. לכן קיים חסם מלעיל לסדרת הסכומים החלקיים של $C'=\sum |c_n| $ ואז הטור מתכנס בהחלט.

נסמן את הסס"ח של $A$ ב-$A_n$ ואת הסס"ח של $B$ ב- $B_n$. מתקיים ש-

$$A_n B_n = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n a_i b_j = C_n+\sum_{n<i+j\leq 2n} a_i b_j$$

נגדיר $S_n =\sum_{i+j\leq n} |a_i| |b_j|$ ונראה שזוהי סדרה מונוטונית עולה. מתקיים ש-$C$ מתכנס בהחלט ולכן

$$\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n |a_k b_{n-k} | = \sum_{n=0}^\infty \sum_{i+j=n} |a_i b_j | <\infty $$

ולכן $S_n $ חסומה ואז מתכנסת לגבול $S$ . $$|A_n B_n - C_n|=S_{2n} - S_n \to S-S = 0$$ ומאריתמטיקה של גבולות $A\cdot B = C $ \end{proof}